Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы:

Ответ: 1.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию его удво­ен­ной пло­ща­ди к пе­ри­мет­ру. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов. Таким об­ра­зом, для ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы имеем:

Ре­ше­ние. Углы A и HCB равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми.

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Объем приз­мы где S − пло­щадь ос­но­ва­ния, а L − длина ребра, со­став­ля­ю­ще­го с ос­но­ва­ни­ем угол Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a равна

Тогда объем приз­мы

Ответ: 243.

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его ребро a фор­му­лой по­это­му при уве­ли­че­нии длины ребра на пло­щадь уве­ли­чит­ся на

От­сю­да на­хо­дим, что ребро куба равно

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. По гра­фи­ку, f(4)  =  5, тогда Тогда урав­не­ние функ­ции имеет вид

За­ме­тим, что k  — тан­генс угла на­кло­на пря­мой. Тогда По гра­фи­ку, g(4)  =  1, зна­чит, Тогда урав­не­ние пря­мой имеет вид

Те­перь найдём абс­цис­су точки A:

Таким об­ра­зом, x  =  16.

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. а)  Через точку M про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой CN. Пусть K  — точка ее пе­ре­се­че­ния с реб­ром AB. Тогда угол между пря­мы­ми SM и CN равен углу между пря­мы­ми SM и MK. За­ме­тим, что MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCN. На­хо­дим:

Тогда

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SMK:

Таким об­ра­зом, сле­до­ва­тель­но, угол между пря­мы­ми SM и MK равен 45°.

б)  Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию от одной из пря­мых до плос­ко­сти па­рал­лель­ной ей, про­хо­дя­щей через дру­гую пря­мую. Пря­мая CN па­рал­лель­на плос­ко­сти SMK, сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SM и CN равно рас­сто­я­нию от пря­мой CN до плос­ко­сти SMK, ко­то­рое, в свою оче­редь, равно рас­сто­я­нию d (C, SMK) от точки C до плос­ко­сти SMK, то есть вы­со­те пи­ра­ми­ды SCMK, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны C. От­рез­ки KN и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а от­рез­ки CN и MK па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, вы­со­та тре­уголь­ни­ка CMK, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны С, равна длине от­рез­ка KN. Обо­зна­чим ее длину тогда:

На­хо­дим пло­щадь тре­уголь­ни­ка SMK:

Таким об­ра­зом, от­ку­да на­хо­дим рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SM и CN:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. а)  Ка­са­тель­ная LM па­рал­лель­на хорде KN, зна­чит, ∠KNL = ∠MLN, а так как ∠MLN = ∠LKN как угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, тре­уголь­ник KLN рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем KN.

По­сколь­ку ML  =  MN как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ведённых к окруж­но­сти из одной точки,

тре­уголь­ник LMN также рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем LN.

Углы при ос­но­ва­ни­ях рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков LMN и LKN равны, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

б)  Угол при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка KLN равен 120°, зна­чит, его вы­со­та LH вдвое мень­ше бо­ко­вой сто­ро­ны то есть Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. По ри­сун­ку видно, что AB  =  BC , зна­чит, бис­сек­три­са, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B, также будет де­лить ос­но­ва­ние AC по­по­лам. По­стро­им от­ре­зок BK. Видно, что он равен 4.

Ответ: 4.