РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 13964226

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21. Найдите боковую сторону трапеции.

В треугольнике ABC угол A равен 14°, внешний угол при вершине B равен 91°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Найдите квадрат расстояния между вершинами A и $B_2$ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 4.$

Диагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ пересекаются в точке P, а диагонали FE₁ и EF₁ боковой грани EFF₁E₁ пересекаются в точке Q.

а)  Докажите, что прямая QP параллельна плоскости CB₁E₁.

б)  Найдите расстояние между прямой QP и плоскостью CB₁E₁, если сторона основания призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равна $2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ а ее высота равна $корень из 2 .$

Решение. ##a)  Диагональ BE является осью симметрии правильного шестиугольника ABCDEF, поэтому точка P  — середина отрезка FD. Так как четырёхугольник EFF₁E₁  — прямоугольник, точка Q середина отрезка FE₁, поэтому отрезок QP параллелен отрезку DE₁ как средняя линия треугольника FDE₁. Отрезки B₁E₁, C₁D₁ и CD параллельны, поэтому прямая CD лежит в плоскости CB₁E₁. Прямая QP параллельна прямой DE₁, лежащей в плоскости CB₁E₁, следовательно, прямая QP параллельна плоскости CB₁E₁.

Рис. 1

Рис. 2

б)  Прямая QP параллельна плоскости CB₁E₁, следовательно, расстояние от прямой до плоскости равно расстоянию от точки P до плоскости CB₁E₁. Поскольку прямая BE параллельна плоскости CB₁E₁, расстояние от точки P до плоскости CB₁E₁ равно расстоянию от точки O  — центра основания ABCDEF  — до плоскости CB₁E₁.

Рассмотрим плоскость осевого сечения призмы, проходящего через центры O и O₁ оснований и середину M ребра CD. Эта плоскость перпендикулярна прямой CD, а поэтому перпендикулярна и плоскости CB₁E₁.

Искомое расстояние равно длине высоты OH прямоугольного треугольника OO₁M, в котором $OM = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента умножить на корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента ,$ $OO_1 = корень из 2 ,$ $O_1M = 4 корень из 2 :$

$OH= дробь: числитель: OO_1 умножить на OM, знаменатель: O_1M конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: б)   $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.

а)  Докажите, что $AC в квадрате =BC умножить на CK.$

б)  Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если $косинус B= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,AC=18,$ а площадь треугольника AKC равна $дробь: числитель: 135, знаменатель: 4 конец дроби корень из 7 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 $\times$ 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины B.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	53849	5
2	502284	77
3	75647	7
4	275863	61
5	509063	13
6	658885	б)   $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$
7	516334	$дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из 7 .$
8	560646	4

Ключ