PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдите большую сторону прямоугольника.
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами A и
.
В правильной шестиугольной призме
все ребра равны 34. Найдите угол 
Ответ дайте в градусах.
На рисунке изображён график функции вида
где числа a, b и c — целые. Найдите значение 
Дана правильная призма ABCDA1B1C1D1. На ребрах CD, CC1 и A1B1 отметили точки K, L и M соответственно. Известно, что A1M = MB1, DK = 2KC, а четырёхугольник AKLM — равнобедренная трапеция.
а) Докажите, что CL = 2LC1.
б) Найдите объём призмы ABCDA1B1C1D1, если AA1 = 7.
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.
На клетчатой бумаге с размером клетки
изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Следовательно,
и 
Последовательно получаем:
:
тогда по теореме косинусов для треугольника 
имеем: 
Так как 
— острый, он равен 
значит, 
Длина отрезка KC втрое меньше длины ребра призмы, а длина отрезка A1M — вдвое меньше. Значит, 
то есть 
и 
По теореме Пифагора в треугольниках ADK, MB1C1, MC1L соответственно находим:
получаем уравнение:
тогда:
Подставляя координаты точек A, K и М, получаем:
Имеем:
Подставим их в уравнение плоскости, получим: 
откуда находим: 
Cледовательно, точка L делит ребро CC1 в отношении 2 :1, считая от вершины С. Это и требовалось доказать.
Сечение является равнобедренной трапецией, поэтому 
тогда искомый объем равен
см. Поэтому
см2.