Медианы AA1, BB1, и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
а) Площадь треугольника A1MB2 в два раза меньше площади треугольника A1MB, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины A1, у этих треугольников общая:
Аналогично получаем ещё 5 равенств: 
Складывая эти равенства почленно, получаем
б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.
Докажем, что квадрат медианы AA1 равен
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: 
откуда 
Аналогично доказывается, что 
а 
Отрезок С1А2 — средняя линия треугольника ABM, значит,
Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: 
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна
Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна 
Ответ: