Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 515825

а) Решите уравнение 2 синус в степени 4 x плюс 3 косинус 2x плюс 1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ Пи ;3 Пи ].

Спрятать решение

Решение.

а) Воспользуемся формулой  синус в квадрате x= дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби . Из неё следует, что  синус в степени 4 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ( косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x плюс 1). Поэтому уравнение можно преобразовать так:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус в квадрате 2x минус косинус 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3 косинус 2x плюс 1=0 равносильно косинус в квадрате 2x плюс 4 косинус 2x плюс 3=0.

Сделаем замену t= косинус 2x. Получим

t в квадрате плюс 4t плюс 3=0 равносильно левая квадратная скобка \beginalignt= минус 1, t= минус 3.\endalgn.

Откуда  косинус 2x= минус 3 или  косинус 2x= минус 1.

Уравнение  косинус 2x= минус 3 не имеет решений. Из уравнения  косинус 2x= минус 1 получаем

2x= Пи плюс 2 Пи k,k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку. Получим числа:  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби и  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z \; б)  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 511419: 515825 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть C).
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Олег Узловский 05.02.2019 20:46

Товарищи! Решая способом разложения косинус 2 икс по формуле - получил синус икс в квадрате равно 1 - соответственно два корня(пи пополам и минус пи пополам).Соответственно возникает логичный вопрос- то ли я дурак то ли лыжи не едут. Прошу помочь мне незамедлительно(ибо живу в глухой деревне под Тамбовом) и что будет раньше нам проложат нормальный интернет или будет Второе пришествие - вопрос спорный)

Александр Иванов

Товарищ! Непонятен Ваш вопрос.

Вы получили два корня. Это хорошо.

Следующий вопрос (про ...лыжи) не очень логичный. Что на него ответить, мы не знаем.

Нормальный интернет в Тамбовской губернии и Второе пришествие не в компетенции сайта РЕШУЕГЭ.

И лучше пользоваться кнопкой "Помощь", а не кнопкой "Сообщить об ошибке"

Артур Хамидуллин 06.02.2019 11:00

А не легче будет 3cos2x заменить на 3 - 3sin^2x - 3sin^2x ?

Александр Иванов

Существуют разные способы решения.

Ваш вариант тоже возможен.