Ре­ше­ние. а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Из неё сле­ду­ет, что По­это­му урав­не­ние можно пре­об­ра­зо­вать так:

Сде­ла­ем за­ме­ну По­лу­чим

От­ку­да или

Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Из урав­не­ния по­лу­ча­ем

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку. По­лу­чим числа: и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды по­это­му AB  =  6. Пло­щадь бо­ко­вой грани равна Пусть M  — се­ре­ди­на AB, тогда SM  — вы­со­та грани SAB. Тогда

по­это­му SM  =  9.

а)  Пусть H  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, тогда SH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Зна­чит, SH  — пря­мая, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти SAC и SHM. Пря­мая SH пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой, ле­жа­щей в плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, в том числе и пря­мым AH и MH. Зна­чит, угол AHM  — это ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SAC и SMH. Оче­вид­но, что

б)  Имеем Тогда

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка A₁MB₂ в два раза мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка A₁MB, по­сколь­ку MB  =  2MB₂, а вы­со­та, про­ведённая из вер­ши­ны A₁, у этих тре­уголь­ни­ков общая:

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем ещё 5 ра­венств:

Скла­ды­вая эти ра­вен­ства почлен­но, по­лу­ча­ем

б)  Обо­зна­чим длины сто­рон BC, AC, AB тре­уголь­ни­ка ABC через a, b, c.

До­ка­жем, что квад­рат ме­ди­а­ны AA₁ равен

Для до­ка­за­тель­ства на про­дол­же­нии от­рез­ка AA₁ за точку A₁ от­ло­жим от­ре­зок A₁P  =  AA₁. По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм ACPB со сто­ро­на­ми AC  =  PB  =  b и AB  =  CP  =  c и диа­го­на­ля­ми BC  =  a и AP  =  2AA₁. Сумма квад­ра­тов диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равна сумме квад­ра­тов его сто­рон: от­ку­да

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что а

От­ре­зок С₁А₂  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABM, зна­чит,

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, мы по­лу­чим, что сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка втрое мень­ше ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC: Сле­до­ва­тель­но, сумма квад­ра­тов сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равна

Под­став­ляя в эту фор­му­лу длины сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, по­лу­ча­ем ответ: сумма квад­ра­тов сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равна

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что за 4 ме­ся­ца Алек­сандр Сер­ге­е­вич вы­пла­тит 1,1 млн руб­лей. Таким об­ра­зом, он не по­кро­ет долг с про­цен­та­ми.

Каж­дый месяц долг уве­ли­чи­ва­ет­ся не более, чем на 1 100 000 · 0,01  =  11 000 руб­лей. Зна­чит, за пять ме­ся­цев Алек­сандр Сер­ге­е­вич дол­жен будет вы­пла­тить не более 1 100 000 + 5 · 11 000  =  1 155 000 руб­лей, что менее чем 5 · 275 000  =  1 375 000 руб­лей.

Таким об­ра­зом, Алек­сандр Сер­ге­е­вич смо­жет вы­пла­тить кре­дит за 5 ме­ся­цев.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Раз­ность вы­ра­же­ний, сто­я­щих под зна­ка­ми мо­ду­ля, сов­па­да­ет с пра­вой ча­стью урав­не­ния:

Сде­ла­ем за­ме­ну: Тогда урав­не­ние имеет вид:

Это рав­но­силь­но усло­вию По­лу­ча­ем

Урав­не­ние имеет корни, ни один из ко­то­рых не при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (4; 19) , толь­ко если пра­вая гра­ни­ца от­рез­ка ре­ше­ний не боль­ше 4 или левая гра­ни­ца не мень­ше 19. По­лу­ча­ем

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  При­мер: 1, 2, 3. Раз­ность квад­ра­та суммы и суммы квад­ра­тов равна 36 − 14  =  22. Если до­ба­вить число 4, то раз­ность будет равна 100 − 30  =  70, что ровно на 48 боль­ше, чем было.

б)  Обо­зна­чим члены про­грес­сии Тогда раз­ность, вы­чис­лен­ная ма­те­ма­ти­ком в пер­вый раз, равна

Когда к про­грес­сии до­ба­ви­ли член то вы­чис­лен­ная во вто­рой раз раз­ность от­ли­ча­ет­ся от пер­вой до­пол­ни­тель­ным сла­га­е­мым

Из усло­вия сле­ду­ет, что и по­это­му

По­лу­ча­ем не­ра­вен­ство от­ку­да Зна­чит, 12 чле­нов в на­чаль­ной про­грес­сии быть не может.

в)  Из ра­вен­ства сле­ду­ет, что n яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа 1440. Зна­чит,

Если n  =  10, по­лу­ча­ем Если то левая часть не мень­ше чем Сле­до­ва­тель­но, d  =  1. По­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое не имеет целых ре­ше­ний. Если n  =  9, по­лу­ча­ем Если то левая часть не мень­ше чем Сле­до­ва­тель­но, d  =  1. По­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое не имеет целых ре­ше­ний. Если n  =  8, по­лу­ча­ем Если то левая часть не мень­ше чем Сле­до­ва­тель­но, d  =  1. По­лу­ча­ем урав­не­ние ко­то­рое имеет един­ствен­ный на­ту­раль­ный ко­рень 4. Зна­чит, про­грес­сия из вось­ми чисел 4, 5, 6, ..., 11 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: а)  1, 2, 3; б)  нет; в)  8.