Ре­ше­ние. После по­ни­же­ния цены тет­радь ста­нет сто­ить 40 − 0,1  40  =  36 руб­лей. Раз­де­лим 750 на 36:

Зна­чит, можно будет ку­пить 20 тет­ра­дей.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая и наи­мень­шая сред­не­ме­сяч­ные тем­пе­ра­ту­ры со­став­ля­ли 18 °C и −20 °C со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Най­дем их раз­ность: 18 − (−20)  =  38 °C.

Ответ: 38.

Ре­ше­ние. Пло­щадь фи­гу­ры равна трем вось­мым пло­ща­ди круга, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен см. По­это­му

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пусть пер­вой за стол сядет де­воч­ка, за сто­лом оста­нет­ся 8 сво­бод­ных сту­льев. На двух на­хо­дя­щих­ся рядом с си­дя­щей де­воч­кой сту­льях дру­гая де­воч­ка си­деть не долж­на. Сле­до­ва­тель­но, она может за­нять любое из остав­ших­ся шести мест. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,75.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем вна­ча­ле ве­ро­ят­ность того, что две де­воч­ки сядут рядом. Пусть пер­вой за стол сядет де­воч­ка. Рядом с ней есть два места, на каж­дое из ко­то­рых пре­тен­ду­ет 8 че­ло­век, из ко­то­рых толь­ко одна де­воч­ка. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что де­воч­ки будут си­деть рядом, равна Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что де­воч­ки не будут си­деть рядом, равна

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Число спо­со­бов рас­са­дить 9 че­ло­век по де­вя­ти сту­льям равно Не­бла­го­при­ят­ным ис­хо­дом яв­ля­ет­ся ва­ри­ант рас­сад­ки, когда на «пер­вом» стуле сидит де­воч­ка и на со­сед­нем спра­ва сидит де­воч­ка, а на осталь­ных семи про­из­воль­но рас­са­же­ны маль­чи­ки. Ко­ли­че­ство таких ис­хо­дов равно По­сколь­ку «пер­вым» сту­лом может быть любой из де­вя­ти сту­льев (сту­лья стоят по кругу), то ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов нужно умно­жить на 9. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что обе де­воч­ки не будут си­деть рядом, равна

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя фор­му­лу по­лу­ча­ем:

Ответ: 19.

Ре­ше­ние. Про­ведём через точку E от­ре­зок EF, па­рал­лель­ный сто­ро­не AD. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма AEFD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADE равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма AEFD, или одной чет­вер­той пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD. Тогда ис­ко­мая пло­щадь тра­пе­ции BCDE равна трём четвёртым пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, т. е. 94,5.

Ответ: 94,5.

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x)  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции По­это­му

Ответ: 7.

При­ме­ча­ние Д. Д. Гу­щи­на.

В связи с воз­ни­ка­ю­щи­ми у учи­те­лей во­про­са­ми при­ве­дем ана­ли­ти­че­ское ре­ше­ние; из­лиш­не гро­мозд­кое для дан­ной за­да­чи, но рас­кры­ва­ю­щее смысл кон­стант в за­пи­си не­опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла. Разо­брать­ся в нем будет по­лез­но и уче­ни­кам, же­ла­ю­щим глуб­же по­нять тему.

Поль­зу­ясь дан­ным в усло­вии гра­фи­ком, за­пи­шем функ­цию в виде

За­пи­шем вы­ра­же­ние для пер­во­об­раз­ной:

За­ме­тим, что пер­во­об­раз­ная яв­ля­ет­ся диф­фе­рен­ци­ру­е­мой, а по­то­му и не­пре­рыв­ной функ­ци­ей в каж­дой точке своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. Сле­до­ва­тель­но, не­пре­рыв­ной в точке 3. По­это­му вы­ра­же­ния для пер­во­об­раз­ных в точке 3 долж­ны быть рав­ны­ми. Под­ста­вим в урав­не­ние

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Пока най­де­на не­пре­рыв­ная функ­ция F, ко­то­рая яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции f на луче и на по­лу­ин­тер­ва­ле Оста­лось изу­чить диф­фе­рен­ци­ру­е­мость F в точке 3. Най­дем ле­во­сто­рон­нюю и пра­во­сто­рон­нюю про­из­вод­ные:

Ле­во­сто­рон­няя про­из­вод­ная F в точке 3 равна пра­во­сто­рон­ней, а по­то­му Те­перь можно утвер­ждать, что функ­ция F яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной для f на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния. Для от­ве­та на во­прос за­да­чи оста­лось найти раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2:

Ответ: 7.

За­ме­ча­ние. От­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что ле­во­сто­рон­няя и пра­во­сто­рон­няя про­из­вод­ные про­из­вод­ные опре­де­ля­ют­ся как

Если по­ло­жить в пер­вой из этих фор­мул а во вто­рой  — то со­от­вет­ствен­но: и от­ку­да сле­ду­ют более удоб­ные для вы­чис­ле­ний фор­му­лы:

ко­то­рые были ис­поль­зо­ва­ны выше в ре­ше­нии.

Пыт­ли­вый чи­та­тель мог бы за­ин­те­ре­со­вать­ся тем, как «скле­е­ны» между собой ветви гра­фи­ка най­ден­ной пер­во­об­раз­ной в точке с абс­цис­сой 3. Го­во­ря более фор­маль­но, не­об­хо­ди­мо узнать, каков угол между ка­са­тель­ны­ми лу­ча­ми к вет­вям гра­фи­ка функ­ции f, про­ве­ден­ны­ми в их общей точке. Чтобы от­ве­тить на этот во­прос, рас­смот­рим функ­ции и Из при­ве­ден­ных выше рас­суж­де­ний сле­ду­ет, что и Но си­сте­ма урав­не­ний

есть усло­вие ка­са­ния гра­фи­ков функ­ций f и g в точке x₀. Итак, для лю­бо­го зна­че­ния кон­стан­ты С₁ пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к па­ра­бо­ле

Более про­стой спо­соб по­ка­зать ка­са­ние не свя­зан с про­из­вод­ной. По­ка­жем, что пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к па­ра­бо­ле в точке 3. Дей­стви­тель­но, урав­не­ние то есть урав­не­ние имеет ровно один ко­рень, рав­ный 3, а зна­чит, для лю­бо­го зна­че­ния С эти пря­мая и па­ра­бо­ла имеют един­ствен­ную общую точку  — точку ка­са­ния.

От­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что за­да­ния ука­зан­но­го типа долж­ны быть зна­ко­мы учи­те­лям, на­при­мер, по из­вест­ной книге Га­лиц­ко­го М. Л., Мош­ко­ви­ча М. М., Шварц­бур­да С. И. Углуб­лен­ное изу­че­ние ал­геб­ры и ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за (Москва, 1982): см. за­да­ние 4 из ин­те­рес­ной, кста­ти, и самой по себе кон­троль­ной ра­бо­ты для 10 (11) клас­са с углуб­лен­ным изу­че­ни­ем ма­те­ма­ти­ки.

Более про­стая за­да­ча при­во­дит­ся с ре­ше­ни­ем в по­со­бии Са­а­кя­на С. М. и др. За­да­чи по ал­геб­ре и на­ча­лам ана­ли­за для 10–11 клас­сов: не­об­хо­ди­мо найти общий вид пер­во­об­раз­ных функ­ции К со­жа­ле­нию, при­ве­ден­ное ав­то­ра­ми ре­ше­ние (см. ниже) нель­зя при­знать пол­но­стью удо­вле­тво­ри­тель­ным, по­сколь­ку в нем не про­ве­ря­ет­ся диф­фе­рен­ци­ру­е­мость най­ден­ной пер­во­об­раз­ной в точке 1. Предо­сте­ре­га­ем чи­та­те­ля от этой ошиб­ки.

Из более новых работ ре­ко­мен­ду­ем об­ра­тить­ся к учеб­ни­ку М. Я. Пра­ту­се­ви­ча и др. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за, 11 класс, стр. 96. В этом учеб­ни­ке во­прос о пер­во­об­раз­ной функ­ции разо­бран пол­но­стью без упу­ще­ний.

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −25.

Ре­ше­ние. Най­дем ско­рость груза через 22 се­кун­ды после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Най­дем ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 22 се­кун­ды после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Ответ: 0,126

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим пер­во­на­чаль­ную сто­и­мость акций за 1. Пусть в по­не­дель­ник акции ком­па­нии по­до­ро­жа­ли на и их сто­и­мость стала со­став­лять Во втор­ник акции по­де­ше­ве­ли на и их сто­и­мость стала со­став­лять В ре­зуль­та­те они стали сто­ить на де­шев­ле, чем при от­кры­тии тор­гов в по­не­дель­ник, то есть 0,96. Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

В ре­зуль­та­те по­до­ро­жа­ния акций на х% их сто­и­мость из­ме­ня­ет­ся в раза, а в ре­зуль­та­те уде­шев­ле­ния из­ме­ня­ет­ся в раза. Тогда:

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: −245.

Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зуя фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла и фор­му­лу при­ве­де­ния, имеем:

б)  При по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти на­хо­дим, что от­рез­ку при­над­ле­жат корни

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке диа­го­наль AD па­рал­лель­на сто­ро­не BC. Тогда, по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти, плос­кость SBC па­рал­лель­на пря­мой

б)  Ис­ко­мый угол  — SBC. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке SBC про­ведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту SM. Имеем:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SBM по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Из усло­вия сле­ду­ет, что и по­это­му, ис­поль­зуя свой­ство по­лу­ча­ем:

Пусть Решим не­ра­вен­ство:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть угол BAC  =  α. Углы BAC и KHB равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник BKHM: в нем ∠BKH + ∠BMH  =  90° + 90°  =  180°, сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник BKHM впи­сан в окруж­ность. Зна­чит, углы KHB и KMB  — впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Таким об­ра­зом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Тре­уголь­ни­ки ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

б)  Сумма углов К и М че­ты­рех­уголь­ни­ка BKHM равна 180°, по­это­му он впи­сан в окруж­ность. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BKH впи­сан в эту же окруж­ность, а по­то­му ра­ди­ус R окруж­но­сти равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы BH: R  =  1. Тре­уголь­ник MBK также впи­сан в эту окруж­ность. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABC и MBK равен от­но­ше­нию их сход­ствен­ных эле­мен­тов, по­это­му он равен Тогда для от­но­ше­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC по­лу­ча­ем:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKH на­хо­дим, что Для тре­уголь­ни­ка ABC спра­вед­ли­во ра­вен­ство Учи­ты­вая, что ∠KHB = ∠BAC, по­лу­ча­ем: Сто­ро­ны BC и BK  — сход­ствен­ные в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках ABC и MBK, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC:

Ре­ше­ние. Пусть вклад­чик в банк пер­во­на­чаль­но по­ло­жил х руб­лей. Тогда за 3 года хра­не­ния этих денег вклад вырос бы до руб­лей.

За пер­вый год хра­не­ния вкла­да он вырос до 1,1x руб­лей. Когда через год вклад­чик снял 2000 руб­лей, на счете оста­лось руб­лей. В конце вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да на эту сумму были на­чис­ле­ны про­цен­ты, вклад стал руб­лей. Когда вклад­чик снова внес 2000 руб­лей, сумма вкла­да стала равна

К концу тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да сумма уве­ли­чи­лась до

Эту сумму снял вклад­чик в итоге вме­сто пер­во­на­чаль­но за­пла­ни­ро­ван­ной руб­лей.

Най­дем ис­ко­мую раз­ность.

Ответ: на 220 руб­лей.

При­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние можно не­сколь­ко упро­стить, за­ме­тив, что за­пла­ни­ро­ван­ный и фак­ти­че­ский про­цен­ты за пер­вый год не от­ли­ча­ют­ся. Пусть к на­ча­лу вто­ро­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов на счете было х руб. Тогда за­пла­ни­ро­ван­ный про­цент равен 1,1²х руб., а фак­ти­че­ский про­цент равен руб. Ис­ко­мая раз­ность  — 220 руб.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим две функ­ции:

Функ­ция f не­пре­рыв­на, убы­ва­ет при воз­рас­та­ет при до­сти­га­ет в нуле наи­мень­ше­го зна­че­ния, Функ­ция g не­пре­рыв­на, яв­ля­ет­ся ку­соч­но-⁠ли­ней­ной, при ее уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо 3, либо 9, при уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен либо –3, либо –9. Зна­чит, функ­ция g воз­рас­та­ет при убы­ва­ет при в нуле до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния, Сле­до­ва­тель­но, ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы один ко­рень тогда и толь­ко тогда, когда наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f не пре­вос­хо­дит наи­боль­ше­го зна­че­ния функ­ции g, то есть тогда и толь­ко тогда, когда Имеем:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Ис­сле­до­ва­ние по­ве­де­ния на бес­ко­неч­но­сти су­ще­ствен­но. На­при­мер, если и то усло­вия вы­пол­не­но, но урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

Ре­ше­ние. 1.  Если все про­из­ве­де­ния взяты со зна­ком плюс, то их сумма мак­си­маль­на и равна

2.  Так как сумма ока­за­лась не­чет­ной, то чисто не­чет­ных сла­га­е­мых в ней не­чет­но, при­чем это свой­ство всей суммы не ме­ня­ет­ся при смене знака лю­бо­го ее сла­га­е­мо­го. По­это­му любая из по­лу­ча­ю­щих­ся сумм будет не­чет­ной, а зна­чит, не будет равна 0.

3.  Зна­че­ние 1 сумма при­ни­ма­ет, на­при­мер, при такой рас­ста­нов­ке зна­ков у про­из­ве­де­ний, ко­то­рая по­лу­чит­ся при рас­кры­тии сле­ду­ю­щих ско­бок:

Ответ: 1 и 4131.