PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
На клетчатой бумаге с размером клетки
изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.
Найдите корень уравнения 
Площадь параллелограмма ABCD равна 126. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции BCDE.
На рисунке изображён график некоторой функции
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите 
где 
— одна из первообразных функции 
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2.
Найдите значение выражения 
Груз массой 0,7 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону 
где t — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний, 
м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле 
где m — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 22 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 
дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [0; 6].
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.
а) Докажите, что плоскость SBC параллельна прямой 
б) найдите косинус угла между прямыми SB и AD.
Решите неравенство: 
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год (опять после начисления процентов) снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы один корень.
Каждое из чисел 2, 3, ... , 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... , 21 и перед каждым из полученных произведении произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
40 = 36 рублей. Разделим 750 на 36: 
см. Поэтому
см2.
Следовательно, вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом, равна 
Неблагоприятным исходом является вариант рассадки, когда на «первом» стуле сидит девочка и на соседнем справа сидит девочка, а на остальных семи произвольно рассажены мальчики. Количество таких исходов равно 
Поскольку «первым» стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), то количество благоприятных исходов нужно умножить 
получаем:
Поэтому 
в уравнение
Следовательно, 
и на полуинтервале 
Осталось изучить дифференцируемость F в точке 3. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные:
Теперь можно утверждать, что функция F является первообразной для f на всей области определения. Для ответа на вопрос задачи осталось найти разность значений первообразной в точках 
а во второй — 
то соответственно: 
и 
откуда следуют более удобные для вычислений формулы:
и 
Из приведенных выше рассуждений следует, что 
и 
Но система уравнений 
является касательной к параболе 
является касательной к параболе 
то есть уравнение 
имеет ровно один корень, равный 3, а значит, для любого значения С эти прямая и парабола имеют единственную общую точку — точку касания.
К сожалению, приведенное авторами решение (см. ниже) нельзя признать полностью удовлетворительным, поскольку в нем не проверяется дифференцируемость найденной первообразной в точке 1. Предостерегаем читателя от этой ошибки.
разобран полностью без упущений.
и их стоимость стала составлять 
Во вторник акции подешевели на 
В результате они стали стоить на 
раза,
раза.
заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: 
принадлежат корни 
б) 
и поэтому, используя свойство 
получаем:
Решим неравенство:
Тогда для отношения площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC получаем:
Для треугольника ABC справедливо равенство 
Учитывая, что ∠KHB = ∠BAC, получаем: 
Стороны BC и BK — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия 
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
рублей.
рублей. В конце второго года хранения вклада на эту сумму были начислены проценты, вклад стал 
рублей. Когда вкладчик снова внес 2000 рублей, сумма вклада стала равна
рублей.
рублей.
руб. Искомая разность — 220 руб.
возрастает при 
достигает в нуле наименьшего значения, 
Функция g непрерывна, является кусочно-линейной, при 
ее угловой коэффициент равен либо 3, либо 9, при 
угловой коэффициент равен
убывает при 
в нуле достигает наибольшего значения, 
Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f не превосходит наибольшего значения функции g, то есть тогда и только тогда, когда 
Имеем: 
и 
то условия 
выполнено, но уравнение 
решений не имеет.
Ответ отличается от верного исключением точек 
и/или 
или 
