Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 515125
i

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние ax2 + x + a − 1  =  0 имеет два  раз­лич­ных  дей­стви­тель­ных  корня  x1 и x2, удо­вле­тво­ря­ю­щих  не­ра­вен­ству \left| дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x_2 конец дроби | боль­ше 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу за­ме­тим, что a не равно 0 и D=1 минус 4a левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4a в квад­ра­те плюс 4a плюс 1 боль­ше 0, от­ку­да a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Кроме того, a не равно 1, по­сколь­ку при a=1 один из кор­ней равен нулю. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

\absx_1 минус x_2 боль­ше \absx_1x_2 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x_1 минус x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше x_1 в квад­ра­те x_2 в квад­ра­те рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x_1 плюс x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4x_1x_2 минус левая круг­лая скоб­ка x_1x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0.

При­ме­ним тео­ре­му Виета: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби боль­ше 0. До­мно­жим на a в квад­ра­те , оно по­ло­жи­тель­но:

1 минус 4 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a минус левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0 рав­но­силь­но минус 5a в квад­ра­те плюс 6a боль­ше 0 рав­но­силь­но a левая круг­лая скоб­ка 6 минус 5a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0\Rightarrow a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Учи­ты­вая име­ю­щи­е­ся огра­ни­че­ния и то, что дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 1,4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1,2, по­лу­чим ответ 0 мень­ше a мень­ше 1, 1 мень­ше a мень­ше 1,2.

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;1,2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 167
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025