ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 515126 Добавить в вариант

Целые числа x, y и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

а)  Могут ли числа x + 3, y² и z + 5 образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

б)  Могут ли числа 5x, y и 3z образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

в)  Найдите все x, y и z, при которых числа 5x + 3, y² и 3z + 5 будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, могут. Например при $x=1,y=3,z=9.$

б)  По свойству арифметической прогрессии в этом случае имеем $5x плюс 3z=2y,$ откуда $25x в квадрате плюс 9z в квадрате плюс 30xz=4y в квадрате =4xz$ (по свойству геометрической прогрессии), откуда $25x в квадрате плюс 26xz плюс 9z в квадрате =0.$ Деля на $z в квадрате$ и обозначая $t= дробь: числитель: x, знаменатель: z конец дроби ,$ получим $25t в квадрате плюс 26t плюс 9=0.$ Это уравнение корней не имеет, поэтому исходное имеет единственное решение $x=z=0,$ тогда и $y=0.$

в)  Как и в предыдущем пункте, по свойствам прогрессий получаем $5x плюс 3 плюс 3z плюс 5=2y в квадрате =2xz.$ Перепишем полученное уравнение иначе:

$2xz минус 5x минус 3z=8 равносильно 4xz минус 10x минус 6z=16 равносильно левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2z минус 5 правая круглая скобка =31.$

Значит эти множители равны $\pm 1$ и $\pm 31.$ Разбираем случаи:

1.   $2x минус 3=1,$ $2z минус 5=31,$ тогда $x=2,$ $z=18,$ тогда $y=\pm 6;$

2.   $2x минус 3= минус 1,$ $2z минус 5= минус 31,$ тогда $x=1,$ $z= минус 13,$ тогда $y в квадрате = минус 13,$ невозможно;

3.   $2x минус 3=31,$ $2z минус 5=1,$ тогда $x=17,$ $z=3,$ тогда $y в квадрате =51,$ невозможно;

4.   $2x минус 3= минус 31,$ $2z минус 5= минус 1,$ тогда $x=14,$ $z=2,$ тогда $y в квадрате =28,$ невозможно.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) $x=2,y=\pm 6,z=18.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 167

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь