РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 661317 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 21.06.2024. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 501;

Задания 13 ЕГЭ–2024.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Основное тригонометрическое тождество и его следствия

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $2 тангенс в квадрате x плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 4 = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 3 Пи ; дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение

$2 тангенс в квадрате x плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 4=0 равносильно 2 умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 4=0 равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x плюс 5 косинус x плюс 2=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x= минус 2, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $2 тангенс в квадрате x плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 4=0 равносильно 2 умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 4=0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x плюс 5 косинус x плюс 2=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений косинус x= минус 2, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $2 тангенс в квадрате x плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 4=0 равносильно$
$равносильно 2 умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус x конец дроби плюс 4=0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x плюс 5 косинус x плюс 2=0, косинус x не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений косинус x= минус 2, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Найдем корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойные неравенства:

$3 Пи меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 6 конец дроби равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби , \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$3 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 31 Пи , знаменатель: 6 конец дроби равносильно дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 31, знаменатель: 12 конец дроби . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Неравенство (1) не имеет решений в целых числах, из неравенства (2) получаем k  =  2. Тогда искомый корень $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Примечание.

Отобрать корни можно, используя тригонометрическую окружность (см. рис.).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

661317

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источники:

ЕГЭ по математике 21.06.2024. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 501;

Задания 13 ЕГЭ–2024.

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	661317	а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$