Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 13 № 517499

а) Решите уравнение: 0,4 в степени синус x плюс 2,5 в степени синус x =2.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть 0,4 в степени синус x =t, тогда поскольку 0,4= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 и 2,5= дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 , получаем:

t плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — t =2 равносильно t в степени 2 минус 2t плюс 1=0 равносильно t=1.

Тогда:

0,4 в степени синус x =1 равносильно синус x=0 равносильно x= Пи k,k принадлежит Z .

б) Найдём корни, лежащие на заданном отрезке:

2 Пи меньше или равно Пи k меньше или равно дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 равносильно 2 меньше или равно k меньше или равно дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 \underset{k принадлежит Z }{\mathop{ равносильно }} совокупность выражений k=2,k=3. конец совокупности .

Тем самым, отрезку  левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка принадлежит корни 2 Пи и 3 Пи .

 

Ответ: а) \left\{ Пи k: k принадлежит Z \}; б) 2 Пи ; 3 Пи .

 

Приведём другое решение.

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, имеем:

0,4 в степени синус x плюс 2,5 в степени синус x больше или равно 2 корень из { 0,4 в степени синус x умножить на 2,5 в степени синус x }=2 корень из { левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 правая круглая скобка в степени синус x }=2.

Тогда

0,4 в степени синус x =2,5 в степени синус x равносильно синус x=0 равносильно x= Пи k,k принадлежит Z .


Аналоги к заданию № 505236: 505246 505386 505407 517499 Все

Источник: Задания 13 (С1) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенство Коши (неравенство о средних), Показательные уравнения, свойства степени
Методы алгебры: Замена переменной