ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 514542 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс 30, знаменатель: 2 в степени x минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 в степени x минус 7 умножить на 2 в степени x плюс 3, знаменатель: 2 в степени x минус 7 конец дроби \leqslant2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 14.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда неравенство примет вид:

$дробь: числитель: t в квадрате минус 16t плюс 30, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате минус 7t плюс 3, знаменатель: t минус 7 конец дроби \leqslant2t минус 14 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 14 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 7 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 7 конец дроби меньше или равно 2t минус 14 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: t минус 4, знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 7 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,$

откуда $t меньше 2;$ $4 меньше или равно t меньше 7.$

При $t меньше 2$ получим: $2 в степени x меньше 2,$ откуда $x меньше 1.$ При $4 меньше или равно t меньше 7$ получим: $4\leqslant2 в степени x меньше 7,$ откуда $2 меньше или равно x меньше логарифм по основанию 2 7.$

Решение исходного неравенства:

$x меньше 1;2 меньше или равно x меньше логарифм по основанию 2 7.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка ; левая квадратная скобка 2; логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 514448: 660697 514528 514542 ... Все

Источники:

ЕГЭ  — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть);

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 414.

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Даниил Мухлынин 30.10.2016 18:53

когда нашли корни уравнения, t^2-16t+30, то там никак может быть корней 14 и 2

Александр Иванов

Даниил читайте решение внимательнее.

В решении нигде не утверждается, что у трехчлена $t в квадрате минус 16t плюс 30$ корни 14 и 2

Там можно увидеть $t в квадрате минус 16t плюс 30=t в квадрате минус 16t плюс 28 плюс 2= левая круглая скобка t минус 14 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка плюс 2$

Почувствуйте разницу.

Алексей Емельянов 18.02.2017 12:47

разве можно так сакратить (2 - 3 строчка решения) мы же так корни теряем

Александр Иванов

При сокращении дроби корни потеряться не могут. Наоборот, могут появиться лишние (из-за исчезновения знаменателя). Но в данном случае все знаменатели остаются на месте. Поэтому в решении всё верно.

Корни могут потеряться при делении обеих частей уравнения (неравенства) на выражение содержащее неизвестное.

артём алтынпара 26.02.2017 13:19

когда мы вводим новую переменную 't' вы не указали её область допустимых значений , это нужно или не обязательно ?

Александр Иванов

Это можно, но не обязательно