СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 509176

Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA‍1B‍1C‍1‍ опи­са­на около шара ра­ди­у­са R.‍ Точки M‍ и N —‍ се­ре­ди­ны рёбер BB‍1‍ и CC‍1.‍ В шар впи­сан ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN.‍ Най­ди­те объём ци­лин­дра

Решение.

Заметим, что высота призмы равна диаметру шара, т. е. 2R,‍ шар касается плоскостей оснований призмы в центрах P‍ и P‍1‍ равносторонних треугольников ABC‍ и A‍1B‍1C‍1,‍ а плоскостей боковых граней — в точках пересечения их диагоналей (рис. 1).

Пусть K‍ и K‍1 —‍ середины BC‍ и B‍1C‍1‍ соответственно. Ортогональная проекция шара на плоскость ABC‍ есть круг радиуса R,‍ вписанный в треугольник ABC.‍ Поэтому AP = A‍1P‍1 = 2R, PK = P‍1K‍1 = R, AK = A‍1K‍1 = 3R.‍

Рассмотрим сечение призмы плоскостью AKK‍1A‍1‍ (рис. 2). Получим прямоугольник AKK‍1A‍1‍ со сторонами 2R,‍ 3R,‍ круг радиуса R,‍ касающийся сторон AK‍ и A‍1K‍1‍ в точках P‍ и P‍1,‍ а стороны KK‍1 —‍ в её середине L,‍ причём центр круга совпадает с центром O‍ шара. Пусть ∠LAK = α.‍ Тогда

Опустим перпендикуляр OQ‍ из центра круга на прямую AL.‍ Из прямоугольного треугольника OQL‍ находим, что

Пусть AQ‍ пересекает окружность, ограничивающую круг, в точке E.‍ Продолжим EO‍ до пересечения с этой окружностью в точке F.‍ Тогда EL —‍ диаметр основания цилиндра, вписанного в данный шар, а LF —‍ высота цилиндра. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника EFL‍ находим, что

Следовательно, объём цилиндра равен

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 505797: 509176 Все

Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Правильная треугольная призма, Цилиндр, Шар