а)  Про­ведём через точку N пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AB, до пе­ре­се­че­ния с пря­мой B₁C₁ в точке K. Тра­пе­ция ABKN  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  Имеем A₁N= 3, по­сколь­ку точка N  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Зна­чит, Ана­ло­гич­но BK = 5.

Далее NK = 3, как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый пе­ри­метр се­че­ния равен 6 + 5 + 5 + 3  =  19.

Ответ: 19.

а)  Про­ведём KE  — сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка BB'D'. Точка  E  — се­ре­ди­на B'D', сле­до­ва­тель­но, точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей верх­не­го ос­но­ва­ния и се­че­ние со­дер­жит диа­го­наль A'C'. Тре­уголь­ник A'C'K яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти.

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки A'B'K и С'B'K равны по двум ка­те­там, по­это­му A'K  =  С'K, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник A'C'K рав­но­бед­рен­ный.

б)  Далее имеем:

Ответ: б) 16.

Пусть H₁  — про­ек­ция A на плос­кость BDK, H₂  — про­ек­ция C на плос­кость BDK. Тре­уголь­ни­ки AOH₁ и COH₂ равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, по­это­му Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть точка L  — точка, в ко­то­рой плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ребро C₁D₁. Плос­ко­сти ABCD и A₁B₁C₁D₁ па­рал­лель­ны, по­это­му плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет их по па­рал­лель­ным пря­мым, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок KL па­рал­ле­лен диа­го­на­ли BD. Ис­ко­мое се­че­ние   — тра­пе­ция BDLK (рис. 1). Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ниж­нее ос­но­ва­ние по пря­мой BD, па­рал­лель­ной B₁D₁, зна­чит, KL па­рал­лель­но B₁D₁.

Тре­уголь­ни­ки LC₁K и D₁C₁B₁ по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, и

В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках DD₁L и BB₁K имеем

зна­чит, тра­пе­ция BDLK рав­но­бед­рен­ная.

Пусть от­ре­зок LH  — вы­со­та тра­пе­ции BDLK, про­ведённая к ос­но­ва­нию BD (рис. 2), тогда:

Таким об­ра­зом, на­хо­дим пло­щадь се­че­ния приз­мы:

Ответ: б)

Пусть точка H₁  — про­ек­ция A на плос­кость BDM, точка H₂  — про­ек­ция C на плос­кость BDM. Тре­уголь­ни­ки AOH₁ и COH₂ равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, по­это­му Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  От­ре­зок MN па­рал­ле­лен диа­го­на­ли BD (точка N при­над­ле­жит ребру A₁B₁), сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое се­че­ние   — тра­пе­ция BDMN (см. рис.). Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ниж­нее ос­но­ва­ние no пря­мой BD, па­рал­лель­ной B₁D₁, зна­чит, MN па­рал­ле­лен B₁D₁.

Тре­уголь­ни­ки NA₁M и B₁A₁D₁ по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках BB₁N и DD₁M:

зна­чит, тра­пе­ция BDMN рав­но­бед­рен­ная.

Пусть NH  — вы­со­та тра­пе­ции BDMN, про­ведённая к ос­но­ва­нию BD (см. рис.), тогда

Таким об­ра­зом, пло­щадь се­че­ния приз­мы равна

Ответ: б)  

а)  Пусть точка   — се­ре­ди­на Оче­вид­но, Про­ве­дем Это пря­мая, со­дер­жа­щая сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка так как и про­хо­дит через се­ре­ди­ну Зна­чит, она про­хо­дит и через се­ре­ди­ну

б)  Обо­зна­чим се­ре­ди­ну   — K. Рас­смот­рим плос­кость От­ре­зок BK лежит в ней и в плос­ко­сти по­это­му надо узнать, как от­ре­зок BK делит от­ре­зок   — диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми При этом

Пусть O точка пе­ре­се­че­ния BK и Тогда

По­это­му

Ответ: б)