Пусть вклад­чик в банк пер­во­на­чаль­но по­ло­жил х руб­лей. Тогда за 3 года хра­не­ния этих денег вклад вырос бы до руб­лей.

За пер­вый год хра­не­ния вкла­да он вырос до 1,1x руб­лей. Когда через год вклад­чик снял 2000 руб­лей, на счете оста­лось руб­лей. В конце вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да на эту сумму были на­чис­ле­ны про­цен­ты, вклад стал руб­лей. Когда вклад­чик снова внес 2000 руб­лей, сумма вкла­да стала равна

К концу тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да сумма уве­ли­чи­лась до

Эту сумму снял вклад­чик в итоге вме­сто пер­во­на­чаль­но за­пла­ни­ро­ван­ной руб­лей.

Най­дем ис­ко­мую раз­ность.

Ответ: на 220 руб­лей.

При­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние можно не­сколь­ко упро­стить, за­ме­тив, что за­пла­ни­ро­ван­ный и фак­ти­че­ский про­цен­ты за пер­вый год не от­ли­ча­ют­ся. Пусть к на­ча­лу вто­ро­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов на счете было х руб. Тогда за­пла­ни­ро­ван­ный про­цент равен 1,1²х руб., а фак­ти­че­ский про­цент равен руб. Ис­ко­мая раз­ность  — 220 руб.

Пусть для опре­де­лен­ноcти Миша и Маша 15.01.12 по­ло­жи­ли в банк x руб­лей. Под­го­то­вим вы­пис­ки из ли­це­вых сче­тов Маши и Миши.

Итак, Маша по­лу­чи­ла на 1100 руб. боль­ше, чем Миша.

Ответ: Маша, на 1100 руб­лей.

1.  Таб­лич­ный ва­ри­ант ре­ше­ния:

2.  Ва­ри­ант ре­ше­ния с по­мо­щью вы­ра­же­ния:

3)  Если бы ни Саша, ни Паша не сни­ма­ли со сче­тов... их вкла­ды вы­рос­ли бы за 3 года до 50000 · 1,331  =  1331 · 100 : 2  =  133100 : 2  =  66550 (р).

Что по­ме­ша­ло Саше?

50000 · 1,1 · 0,1  =  5000 · 1,1  =  5500 р., что он снял со счета 04.12.15 при­ве­ло к умень­ше­нию ожи­да­е­мой суммы, вклю­чая про­цент­ные на­чис­ле­ния в те­че­ние 2 лет! А этот по­сту­пок Саши ис­чис­ля­ет­ся сум­мой 5500 · 1,21  =  5500 · 121  =  1331 · 5  =  13310 : 2  =  6655 (р).

Те 20 000 р., ко­то­рые он снял 04.12.16, при­ве­ло к умень­ше­нию ожи­да­е­мой суммы на 20 000 · 1,1  =  22 000 (р.). Итого: 28 655 р.

В ко­неч­ном итоге ему при­чи­та­лось 66 550 − 28 655=37895 (р.)

Что по­ме­ша­ло Паше?

50 000 · 1,1 · 0,2  =  10 000 · 1,1  =  11000 р., что он снял со счета 04.12.15, при­ве­ло к умень­ше­нию ожи­да­е­мой суммы, вклю­чая про­цент­ные на­чис­ле­ния в те­че­ние 2 лет! А это ис­чис­ля­ет­ся сум­мой 11 000 · 1,21  =  1,1 · 1,21 · 10 000  =  1,331 · 10 000  =  13 310 (р).

15 000 р., ко­то­рые он снял в конце 04.12.16, при­ве­ло к умень­ше­нию ожи­да­е­мой суммы на (р.). Итого: 29 810 р.

В окон­ча­тель­ный рас­чет на руки Паше вы­да­ли: 66 550 − 29 810  =  36 740 (р.)

Саша по­лу­чил на 1155 р. боль­ше, чем Паша (37895 − 36740).

Ответ: у Саши, на 1155 руб­лей.

Мак­си­маль­ная сумма на счете будет в слу­чае, если Ва­си­лий все три раза вос­поль­зу­ет­ся пра­вом до­пол­ни­тель­но вне­сти 133 000 руб­лей на счёт.

1.  После пер­во­го года хра­не­ния вкла­да:

Сумма вкла­да воз­рас­та­ет до 1 000 000 · 1,1  =  1 100 000 (руб.);

До­пол­ни­тель­ное по­пол­не­ние счета 1 100 000 + 133 000  =  1 233 000 (руб.);

2.  После вто­ро­го года хра­не­ния вкла­да:

Сумма вкла­да воз­рас­та­ет до 1 233 000 · 1,1  =  1 356 300 (руб.);

До­пол­ни­тель­ное по­пол­не­ние счета 1 356 300 + 133000  =  1 489 300 (руб.);

3.  После тре­тье­го года хра­не­ния вкла­да:

Сумма вкла­да воз­рас­та­ет до 1 489 300 · 1,1  =  1 638 230 (руб.);

До­пол­ни­тель­ное по­пол­не­ние счета 1 638 230 + 133 000  =  1 771 230 (руб.);

4.  После чет­вер­то­го года хра­не­ния вкла­да:

Сумма вкла­да воз­рас­та­ет до 1 771 230 · 1,1  =  1 948 353 (руб.).

Ответ: 1 948 353 рубля.

Пред­по­ло­жим, что Саша и Паша пер­во­на­чаль­но по­ло­жи­ли в банк S руб.

Ди­на­ми­ка при­ро­ста вкла­да Саши. К концу 4 года хра­не­ния де­неж­ных средств на счету Саши ока­за­лось 1,1⁴S  =  1,4641S руб.

Ди­на­ми­ка при­ро­ста вкла­да Паши.

К концу вто­ро­го года на счету Паши ока­за­лось 1,15²S  =  1,3225S руб. А к концу же чет­вер­то­го года  — руб.

Раз­ность об­ра­зо­ван­ных сумм обоих вкла­дов со­ста­ви­ла руб., что мень­ше числа 0,1S.

Решим не­ра­вен­ство:

По­сколь­ку усло­ви­ем за­да­чи тре­бу­ет­ся найти наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние про­цент­ной став­ки, таким зна­че­ни­ем будет число 8.

Ответ: 8%.