математика
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Каталог заданий.
Многогранники

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д7 C2 № 505330

В  правильной  треугольной  пирамиде  с  вершиной  сторона  основания равна   Через  прямую    проведено  сечение перпендикулярное ребру , площадь которого равна 18. Найти длину бокового ребра пирамиды.

Решение · ·

2
Задания Д7 C2 № 505587

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен Через сторону основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найдите площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.

3
Задания Д7 C2 № 505599

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.

4
Задания Д7 C2 № 505605

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.

5
Задания Д7 C2 № 505617

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основания равен сторона основания равна 1, SH — высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку H параллельно ребрам SA и BC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.

6
Задания Д7 C2 № 505683

В кубе ABCDA1B1C1D1 плоскость проходит через прямую A1B1 и середину ребра DD1. Найти расстояние от середины ребра DC до плоскости, если ребро куба равно 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.

7
Задания Д7 C2 № 505689

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной и углом А, равным На ребрах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC, если высота призмы равна 4,5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.

8
Задания Д7 C2 № 505701

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра PA, точка K — середина ребра PB. Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK, если PC = 6, AB = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.

9
Задания Д7 C2 № 505839

В правильной треугольной призме все ребра которой равны, точка — середина Найдите угол между плоскостью и плоскостью где — середина

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.

10
Задания Д7 C2 № 505845

Дана правильная треугольная призма , стороны основания которой равны Найдите угол между прямыми и , если сумма длин всех сторон обеих оснований равна

 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.

11
Задания Д7 C2 № 505859

Дан куб c ребром, равным 4. Пусть точка лежит на стороне так, что Найдите расстояние от точки до плоскости , где — середина

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.
Решение · ·

12
Задания Д7 C2 № 505865

Дан единичный куб Пусть точка — середина Найдите расстояние от точки до прямой

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.

13
Задания Д7 C2 № 505871

Сфера с центром в точке вписана в прямоугольный параллелепипед Найдите угол между прямыми и где — середина

Раздел: Стереометрия
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.

14
Задания Д7 C2 № 505877

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит квадрат со стороной 1. На плоскости основания имеется квадрат CDKM. В этот квадрат вписана окружность, которая является основанием цилиндра с высотой, равной длине отрезка AA1. Найдите расстояние от середины основания цилиндра до точки пересечения диагоналей параллелепипеда, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.

15
Задания Д7 C2 № 505883

Дан куб c ребром 5 см. Точка движется по сторонам квадрата со скоростью 1см/с, стартуя из точки Двигаясь в направлении точка через 7 секунд остановилась. Найти угол между плоскостью и плоскостью где — середина

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.

16
Задания Д7 C2 № 505895

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.

17
Задания Д7 C2 № 505907

В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом и гипотенузой Найти расстояние от точки до прямой если точка — середина ребра которое равно

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.

18
Задания Д7 C2 № 505913

В кубе с ребром 1 на ребре и выбраны точки и соответственно так, что а Найти расстояние между прямыми и

Раздел:
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.

19
Задания Д7 C2 № 505919

В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите угол между плоскостями и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.

20
Задания Д7 C2 № 505925

К диагонали куба провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.

21
Задания Д7 C2 № 505931

Диагональ куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины и Найдите величину этого угла.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.

22
Задания Д7 C2 № 505937

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах AB и AC выбраны точки M и K соответственно так, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK = 7 : 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC, если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.

23
Задания Д7 C2 № 505943

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной , со стороной основания, равной и боковым ребром 5 найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через середины и и вершину

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.

24
Задания Д7 C2 № 505949

Точки — середины ребер и соответственно куба Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 18.

25
Задания Д7 C2 № 505961

В правильной призме со стороной основания, равной и высотой, равной 2, проведено сечение через прямую которое делит призму на 2 многогранника равных объемов. Найти площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.

26
Задания Д7 C2 № 505967

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом , равным 30 градусам. Найти площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет нижнего основания и середину гипотенузы верхнего основания, если расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от вершины до искомого сечения и равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.

27
Задания Д7 C2 № 505979

В пирамиде объемом 18 в основании лежит равнобедренный треугольник Боковая грань, проходящая через основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. На ребре отмечена точка так, что прямая образует угол с плоскостью основания, а объем пирамиды в два раза меньше объема пирамиды Найти площадь сечения если треугольник равносторонний.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.

28
Задания Д7 C2 № 505991

Точка — середина стороны основания правильной треугольной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12. Найдите синус угла между прямой и плоскостью боковой грани

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.

29
Задания Д7 C2 № 506009

В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.

30
Задания Д7 C2 № 506033

Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.

31
Задания Д7 C2 № 506075

Основанием четырехугольной пирамиды является квадрат а высота пирамиды совпадает с ребром Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата равна 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.

32
Задания Д7 C2 № 506081

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.

33
Задания Д7 C2 № 508096

Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S, вдвое больше площади её основания.

а) Постройте это сечение;

б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 83.

34
Задания Д7 C2 № 508102

В прямую призму ABCDA1B1C1D1, нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD' — боковые ребра, вписан шар радиуса 1.

а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C'.

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.

35
Задания Д7 C2 № 508114

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной, равной 3. Боковое ребро параллелепипеда равно 4. На ребре AA1 отмечена точка M так, что AM : A1M = 1 : 3.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD1.

б) Найдите площадь полученного сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.

36
Задания Д7 C2 № 508122

На боковых ребрах правильной треугольной призмы расположены точки и М соответственно. Известно, что угол между прямыми и АВ равен а угол между прямым КМ и АС –

а) Постройте плоскость, проходящую через точки и М.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.

37
Задания Д7 C2 № 508137

Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды SABC в точках K и L соответственно и делит объем пирамиды пополам

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если SK : SA = 2 : 3, SL : SB = 4 : 5.

б) В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.

38
Задания Д7 C2 № 508149

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота PO равна а сторона основания равна 6. Из точки О на ребро PC опущен перпендикуляр ОН. Докажите, что прямая PC перпендикулярна прямой DH. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.

39
Задания Д7 C2 № 508161

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра C1D1, точка P — середина ребра AD, точка M — середина ребра CC1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M.

б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.

40
Задания Д7 C2 № 508167

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD каждое ребро равно 12. На ребре PC отмечена точка K так, что PK : KC = 1 : 3.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABK и PCD параллельна плоскости ABC.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

41
Задания Д7 C2 № 508173

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь полученного сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.

42
Задания Д7 C2 № 508191

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M — точка пересечения медиан грани SBC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.

43
Задания Д7 C2 № 508197

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра AA1. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.

44
Задания Д7 C2 № 508203

В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.

45
Задания Д7 C2 № 508612

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.

46
Задания Д7 C2 № 508619

Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.

47
Задания Д7 C2 № 508632

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 1. Точка E — середина ребра АС.

а) Постройте сечение призмы плоскостью A1B1E;

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.

48
Задания Д7 C2 № 508639

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковое ребро составляет с высотой угол  Плоскость проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью

б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.

49
Задания Д7 C2 № 508951

ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка N — середина СВ, а точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3 : 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.

50
Задания Д7 C2 № 511210

В правильной треугольной пирамиде SABC точка М — середина ребра SC, точка K — середина ребра AB.

а) Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1 : 3.

б) Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC, если известно, что AB = 6, SA = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.

51
Задания Д7 C2 № 511217

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA1 в такой точке M, что AM : A1M = 1 : 2.

б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.

52
Задания Д7 C2 № 511224

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC1.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.

53
Задания Д7 C2 № 511231

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC = 8 и BD = 6.

а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC, если известно, что боковое ребро призмы равно 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.

54
Задания Д7 C2 № 511238

В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 10, а сторона основания равна Через точки В и С перпендикулярно ребру проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объемы которых относятся как 2 : 3.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды PABC плоскостью α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.

55
Задания Д7 C2 № 511245

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 8, BC = 6, AA1 = 12. Точка K — середина ребра AD, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2.

а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости CKM.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.

56
Задания Д7 C2 № 511252

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 6, BC = 4, AA1 = 7. Точка P — середина ребра AB, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 2 : 5.

а) Докажите, что плоскость MPC делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 11.

б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MPC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.

57
Задания Д7 C2 № 511259

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC отмечена точка K.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ABK является трапецией.

б) Найдите угол, который образует плоскость ABK с плоскостью основания пирамиды, если известно, что PK : KC = 3 : 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.

58
Задания Д7 C2 № 511862

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре CC1 взята точка K так, что CK : KC1 = 1 : 4, а на ребре A1C1 взята точка M так, что A1M : MC1 = 1 : 2.

А) Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A1B1 призмы.

Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.

59
Задания Д7 C2 № 511877

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка P — середина ребра СВ, точка K лежит на ребре CD так, что KD : KC = 1 : 2. Плоскость, проходящая через точки P, K и A1 пересекает ребро DD1 в точке M.

а) Докажите, что DM : D1M = 1 : 4.

б) Найдите угол между плоскостями PKA1 и ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.

60
Задания Д7 C2 № 511884

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = BC = 8, BB1 = 6. Точка K — середина ребра BB1, точка P — середина ребра C1D1. Найдите:

а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD1;

б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.

61
Задания Д7 C2 № 511898

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 AB = 2, AA1 = 3.

а) Докажите, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми AC1 и BE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.

62
Задания Д7 C2 № 511916

Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку С и середину ребра АВ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α.

А) Докажите, что плоскость α делит ребро ВР в отношении 2 : 1, считая от точки В.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α если известно, что РА = 10, АС = 16.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.

63
Задания Д7 C2 № 512002

В правильной треугольной пирамиде PABC (ABC — основание) M — точка пересечения медиан грани PBC.

а) Докажите, что прямая AM делит высоту РО пирамиды в отношении 3 : 1, считая от точки P.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках А, В, M, P, ели известно, что AB = 12, PC = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.

64
Задания Д7 C2 № 512649

В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция с острым углом 45°. Боковые грани PABи PCD перпендикулярны основанию пирамиды. 

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны. 

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что BC = 6, АD = 12, а объем пирамиды равен 27.     

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.

65
Задания Д7 C2 № 512662

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота РО в полтора раза больше, чем сторона основания. 

а) Докажите, что через точку О можно провести такой отрезок KM с концами на сторонах AD и BC соответственно, что  сечение PKM пирамиды будет равновелико основанию пирамиды. 

б) Найдите отношение площади полной поверхности пирамиды PABMK к площади полной поверхности пирамиды PABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.

66
Задания Д7 C2 № 512670

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость β.

а) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью ABC.             

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью β, если известно, что ребро призмы равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.

67
Задания Д7 C2 № 513205

Через ребро BC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 под углом 60° к плоскости ABC проведена плоскость α. Известно, что площадь сечения призмы плоскостью α равна а высота призмы равна 3.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 1 : 3, считая от точки B1.

б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы ABCA1B1C1 плоскостью α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.

68
Задания Д7 C2 № 513212

В  кубе АВСDA1B1C1D1 точка  N — середина  ребра BC,  точка M лежит на ребре AB так, что MB = 2MA. Плоскость, проходящая через точки M и N параллельно прямой ВD1, пересекает ребро DD1 в точке K

а) Докажите, что DK : D1K = 5 : 2. 

б) Найдите расстояние от точки D1 до прямой MN, если известно, что ребро куба равно 12. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.

69
Задания Д7 C2 № 513219

В правильной треугольной пирамиде PABC (P — вершина) точка K – середина AB, точка M — середина BC, точка N лежит на ребре АР, причем АN : NP = 1 : 3. 

а) Докажите, что  сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки NKM, является равнобедренная трапеция. 

б) Найдите угол между плоскостями NKM и ABC, если известно, что AB = 6, АР = 8.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.

70
Задания Д7 C2 № 513226

В правильной треугольной пирамиде PABC к основанию ABC проведена высота РО. Точка K — середина СО.  

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, P и K делит ребро BC в отношении 1:4. 

б) Найдите объем большей части пирамиды PABC, на которые ее делит плоскость APK, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.

71
Задания Д7 C2 № 513233

Треугольная призма ABCA1B1C1 с нижним основанием ABC и боковыми ребрами AA1, BB1, CC1 рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F, C, где точка E является серединой ребра AA1, точка F лежит на ребре BB1, причем BF : FB1 = 1 : 2. 

а) Докажите, что объем части призмы ABCA1B1C 1, заключенный между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы составляет  объема призмы.

б) Найдите угол между нижним основанием призмы и плоскостью сечения, если призма ABCA1B1C1 — правильная и все ее ребра равны между собой.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146.

72
Задания Д7 C2 № 513280

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

73
Задания Д7 C2 № 505659

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1, так, что сечение — ромб. Найдите площадь сечения, если AB = 3, BC = 2 и AA1 = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 51.

74
Задания Д7 C2 № 505677

Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти площадь сечения, если расстояние от плоскости сечения до вершины A равно 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.

75
Задания Д7 C2 № 505719

На продолжении ребра ST за точку T правильной четырехугольной пирамиды SPQRT с вершиной S взята точка B так, что расстояние от этой точки до плоскости SPQ равно Найти длину отрезка BT, если QR = 12, SR = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 61.

76
Задания Д7 C2 № 505737

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и BC = 9. Высота пирамиды проходит через точку O пересечения диагоналей AC и BD основания и равна Точки E и F лежат на ребрах AB и AD соответственно, причем AE = 4, AF = 6. Найти площадь многогранника, полученного при пересечении пирамиды с плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной ребру AS.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.

77
Задания Д7 C2 № 505827

В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами AB = AC = 5 и BC = 6. Ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды, если известно, что отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ребру SA равно 2/7.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.

78
Задания Д7 C2 № 505833

В треугольной пирамиде ABCD угол между гранями ABC и ACD равен плоский угол BAC равен а рёбра AC и AD перпендикулярны. Найти длину ребра AD, если AB = 5,

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.

79
Задания Д7 C2 № 506039

Треугольная пирамида ABCD пересекается с плоскостью P по четырехугольнику EFGH так, что вершины E и F лежат на ребрах AB и AC и длина отрезка EF равна 1. Известно, что плоскость P параллельна противоположным ребрам AD и BC, которые равны соответственно 4 и 2. Найти периметр четырехугольника.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.

80
Задания Д7 C2 № 508131

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Через середины ребер AB и BC параллельно прямой ВD1 проведена плоскость.

А) Постройте сечение куба этой плоскостью.

Б) Найдите площадь полученного сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.

81
Задания Д7 C2 № 508745

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6, ВС = 9. Высота пирамиды проходит через точку О пересечения диагоналей АС и BD основания и равна Точки Е и F лежат на ребрах АВ и AD соответственно, причем АЕ = 4, AF = 6.

а) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е и F параллельно ребру AS.

б) Найти площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.

82
Задания Д7 C2 № 513764

На ребрах АА1, CC1, C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены точки  M, N и  P так, что AM : AA1 = C1N : C1C = C1P : C1D1 = 4 : 5.

а) Постройте точку H пересечения плоскости MNP с прямой BC.

б) Найдите отношение BH : BC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.

83
Задания Д7 C2 № 513771

Все ребра правильной четырехугольной пирамиды FABCD с основанием ABCD равны 7. Точки P, Q, R лежат на ребрах FA, AB и BC соответственно, причем FP = BR = 4, AQ = 3.

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру FD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.

84
Задания Д7 C2 № 513778

В правильной четырехугольной пирамиде FABCD с основанием ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на ребрах BC и CD соответственно, причем СМ = 3, DN = 2. 

Плоскость α проходит через точки M, N и параллельна прямой FC.

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру AF

б) Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.

85
Задания Д7 C2 № 513792

В кубе ABCDAA1B1C1D1 на продолжении ребра BB1 отмечена точка P так, что PB : BB1 = 3 : 4. Через точки А и P параллельно прямой ВD1 проведена плоскость α. 

а) Докажите, что плоскость α делит ребро DC в отношении 1 : 2.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если известно, что PB = 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 151.

86
Задания Д7 C2 № 514059

В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — середина AB, точка K — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником. 

б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.

87
Задания Д7 C2 № 514066

Дан куб ABCDA1B1C1D1.  

а) Докажите, что каждая из плоскостей BDA1 и B1D1С перпендикулярна прямой AC1

б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA1 и B1D1C, если известно, что отрезок диагонали AC1, заключенный между этими плоскостями, имеет длину

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.

88
Задания Д7 C2 № 514073

Через середину ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой ВD1 проведена плоскость α. 

а) Докажите, что сечением куба плоскостью α является правильный шестиугольник.

б) Найдите угол между плоскостями α и ABC.    

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.

89
Задания Д7 C2 № 514568

Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра AB.

а) Докажите, что отношение объёмов многогранников, на которые разбивает призму плоскость PCD1, равно 7 : 17.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью PCD1, если известно, что AB = 8, AD = 3, AA1 = 4, ∠BAD = 120°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156.

90
Задания Д7 C2 № 514575

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка P — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1C1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью BPM проходит через точку C.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость BPM разбивает данную призму, если известно, что AB = 6, AA1 = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.

91
Задания Д7 C2 № 514582

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре DD1 отмечена точка O так, что

а) Докажите, что объём данной призмы в 4,5 раза больше, чем объём пирамиды OABB1A1.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды OABB1A1, если известно, что AB = 1, DD1=3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.

92
Задания Д7 C2 № 514596

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Докажите, что объём пирамиды с основанием A1BCD1 и вершиной в точке B1 составляет третью часть объёма куба.

б) Найдите угол между плоскостями B1A1B и B1D1C.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

93
Задания Д7 C2 № 515649

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C).

94
Задания Д7 C2 № 515725

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AA1 = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K — середина ребра C1D1.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 5. (Часть C).

95
Задания Д7 C2 № 515744

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит отрезок BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.

б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 6. (Часть C).

96
Задания Д7 C2 № 515763

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M — середина ребра AB, точка O — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.

б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 7. (Часть C).

97
Задания Д7 C2 № 516401

На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что , на ребре — точка так, что , а точка — середина ребра Известно, что , ,

а) Докажите, что плоскость проходит через вершину

б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью


Аналоги к заданию № 516401: 516381 Все


98
Задания Д7 C2 № 521332

В кубе ABCDA1B1C1D1точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ : В1М = 1 : 3. Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.

 

а) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 201.

99
Задания Д7 C2 № 521345

В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 АВ = 2, АD = 1, АА1 = 3. Точка К лежит на ребре СС1 так, что СK : С1K = 5 : 4.

 

а) Докажите, что прямые DB1 и D1K перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости 1D.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 202.

100
Задания Д7 C2 № 521382

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = 4, Известно, что боковая грань SBC перпендикулярна основанию АВС, SB = SC, а высота пирамиды, проведенная из точки S, равна 112 . На ребрах SB и SC отмечены соответственно точки К и Р так, что ВК : SK = CP : SP = 1 : 3.

а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью АРК является прямоугольный треугольник.

б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость АРК.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 204.

101
Задания Д7 C2 № 521389

Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.

а) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 205.

102
Задания Д7 C2 № 521406

В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD = DC.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ВС перпендикулярно ребру AD.

б) Найдите объём пирамиды BCМD, где М — точка пересечения ребра АD и плоскости

сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 207.

103
Задания Д7 C2 № 521433

Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.

а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB равен .

б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 210.

104
Задания Д7 C2 № 521440

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребре С1D1 взята точка К так, что КС1 = 3КD1.

а) Докажите, что плоскость АСК делит диагональ BD1 в отношении 4 : 1, считая от точки В.

б) Найдите расстояние от точки D до плоскости АСК, если известно, что АВ = 4, ВС = 3, СС1 = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 211.

105
Задания Д7 C2 № 521448

В правильной пирамиде PABCD на ребрах АВ и РD взяты точки М и К соответственно, причем АМ : ВМ = 1 : 3, DK : РК = 4 : 3.

а) Докажите, что прямая ВР параллельна плоскости МСК.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью МСК, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 212.

106
Задания Д7 C2 № 521472

В правильной треугольной пирамиде SABC точка К — середина ребра АВ. На ребре SC взята точка М так, что SM : СМ = 1 : 3.

а) Докажите, что прямая МК пересекает высоту пирамиды в её середине.

б) Найдите расстояние между прямыми МК и АС, если известно, что АВ = 6, SA = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 213.

107
Задания Д7 C2 № 521479

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 4, СС1 = 8. Точка К — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD1 так, что DP : PD1 = 3 : 5.

а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой 1.

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 214.

108
Задания Д7 C2 № 521486

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра АВ.

а) Докажите, что плоскость СКD1 делит объем параллелепипеда в отношении 7 : 17.

б) Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD1, если известно, что ребра АВ, АD и АА1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 215.

109
Задания Д7 C2 № 521493

На боковых ребрах EA, EB, EC правильной четырехугольной пирамиды ABCDE расположены точки M, N, K соответственно, причем EM : EA = 1 : 2, EN : EB = 2 : 3, EK : EC = 1 : 3 .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, K.

б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 216.

110
Задания Д7 C2 № 521500

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания, равен 45°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 217.

111
Задания Д7 C2 № 521543

Основание и высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны AB=6, AA1=4.

а) Найдите угол между прямыми A1B и B1C.

б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1C.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 218.

112
Задания Д7 C2 № 521557

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 — центр квадрата АВСD, точка О2 — центр квадрата СС1D1D.

а) Докажите, что прямые А1О1 и В1О2 — скрещивающиеся.

б) Найдите расстояние между прямыми А1О1 и В1О2, если ребро куба равно 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 220.

113
Задания Д7 C2 № 521564

Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота пирамиды проходит через середину ребра AC, а боковая грань ACD — равносторонний треугольник.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и произвольную точку M ребра AD, — прямоугольный треугольник.

б) Найдите расстояние от вершины D до этой плоскости, если M — середина ребра AD, а высота пирамиды равна 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 221.

114
Задания Д7 C2 № 521665

На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки М и N так, что ВМ = MD и CN : ND = 2 : 3. Через вершину А основания пирамиды и точки М и N проведена плоскость α, пересекающая медианы боковых граней, проведенные из вершины D, в точках К, R и Т.

а) Докажите, что площадь треугольника KTR составляет 5/22 от площади сечения пирамиды плоскостью α.

б) Найти отношение объемов пирамид KRTC и ABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 223.

115
Задания Д7 C2 № 521672

В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD , в которой ВС||AD и AD : BC = 2. Через вершину Т пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М такой, что АМ : MB = 2. Площадь получившегося сечения равна 10, а расстояние от ребра ВС до плоскости сечения равно 4.

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7 : 20.

б) Найдите объем пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 224.

116
Задания Д7 C2 № 521679

В правильной шестиугольной пирамиде PABCDEF боковое ребро наклонено к основанию под углом

а) Докажите, что плоскости АРВ и DPE перпендикулярны.

б) Найдите отношение радиуса сферы, касающейся всех граней пирамиды, к радиусу сферы, проходящей через все вершины пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 225.

117
Задания Д7 C2 № 521686

Основанием пирамиды FABCD является квадрат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит на отрезке АС и делит его в отношении AO : OC = 4 : 1. Угол ADF равен 90°.

а) Докажите, что ребро FC перпендикулярно плоскости основания пирамиды.

б) Найдите разность объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что АВ = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 226.

118
Задания Д7 C2 № 521693

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна а высота СС1 равна 7,5. На ребре B1C1 отмечена точка Р так, что B1P:PC1 = 1 : 3. Точки Q и М являются серединами сторон АВ и A1C1 соответственно. Плоскость α параллельна прямой АС и проходит через точки Р и Q.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости α.

б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 227.

119
Задания Д7 C2 № 521700

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра АВ = 6, AD = 12, AA1 = 10. Точка Е принадлежит отрезку BD, причем ВЕ : ED = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки А, Е и середину ребра ВВ1.

а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите расстояние от точки В1 до плоскости сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 228.

120
Задания Д7 C2 № 521751

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ = 4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды. Плоскость α, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает ребро SA в точке М, причем SM : MA = 1 : 2.

а) Докажите, что SA перпендикулярно α.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 229.

121
Задания Д7 C2 № 521758

В основании треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник АВС, где АВ = ВС = 5, АС = 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом, синус которого равен

а) Постройте сечение, проходящее через центр описанной окружности основания и перпендикулярное прямой BD

б) Найдите расстояние от прямой BD до прямой АС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 230.

122
Задания Д7 C2 № 521765

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС < АD), в которой АВ = 5, CD = 4, ВС = 6. Через точку С и середину ребра ВВ1 параллельно B1D проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро АА1 в такой точке Р, что А1Р = 3АР.

б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, основанием которой служит сечение призмы плоскостью β, если известно, что ВВ1 = 16.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 231.

123
Задания Д7 C2 № 521801

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD, причем AB = BD.

Точки М и N — середины ребер В1С1 и АВ соответственно.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью MND1 — многоугольник с прямым углом при вершине D1.

б) Найдите площадь указанного сечения, если AB = 8, AA1 = 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 232.

124
Задания Д7 C2 № 521808

НА ребрах NN1 и KN куба KLMNK1L1M1N1 отмечены такие точки P и Q, что Через точки M1, P, Q проведена плоскость.

а) Докажите, что плоскость делит объем куба в отношении 61 : 89

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости сечения, если ребро куба равно 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 233.

125
Задания Д7 C2 № 521815

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 5, AD = 6, AA1 = 8, точка К — середина ребра DD1.

а) Докажите, что прямые ВС и КС1 перпендикулярны.

б) Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед плоскостью ВКС1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 234.

126
Задания Д7 C2 № 521822

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 4, а боковые ребра 5.

а) Докажите, что плоскость A1C1E1 перпендикулярна плоскости BB1E1.

б) Найдите угол между плоскостями A1C1E1 и ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 235.

127
Задания Д7 C2 № 521829

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Пусть l — линия пересечения плоскостей АСD1 и ВDC1.

а) Докажите, что прямые DB1 и l перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми DB1 и l, если ребро куба равно 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 236.

128
Задания Д7 C2 № 521915

В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.

а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD.

б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 238.

129
Задания Д7 C2 № 521923

В основании SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC =  все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.

б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 239.

Пройти тестирование по этим заданиям