СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Многогранники

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д7 C2 № 505330

В  правильной  треугольной  пирамиде  с  вершиной  сторона  основания равна   Через  прямую    проведено  сечение перпендикулярное ребру , площадь которого равна 18. Найти длину бокового ребра пирамиды.

Решение · ·

2
Задания Д7 C2 № 505587

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1. Объем пи­ра­ми­ды равен Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния CD про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое делит по­по­лам дву­гран­ный угол, об­ра­зо­ван­ный бо­ко­вой гра­нью SCD и ос­но­ва­ни­ем. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.

3
Задания Д7 C2 № 505599

Каж­дое из ребер тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плос­кость PQR пе­ре­се­ка­ет пря­мую AD в точке S. Найти ве­ли­чи­ну угла между пря­мы­ми SP и SQ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.

4
Задания Д7 C2 № 505605

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит ромб ABCD со сто­ро­ной 1. Длина диа­го­на­ли AC ромба равна 1,5. Ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с цен­тром ромба и ее длина в 1,5 раза боль­ше длины AC. Через точку A и се­ре­ди­ну ребра SC про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, об­ра­зу­ю­щая с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды угол 45°. Ка­ко­ва пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Площадь сечения, Четырехугольная пирамида

5
Задания Д7 C2 № 505617

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основания равен сторона основания равна 1, SH — высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку H параллельно ребрам SA и BC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.

6
Задания Д7 C2 № 505683

В кубе ABCDA1B1C1D1 плоскость проходит через прямую A1B1 и середину ребра DD1. Найти расстояние от середины ребра DC до плоскости, если ребро куба равно 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Куб, Метод координат, Расстояние от точки до плоскости

7
Задания Д7 C2 № 505689

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной и углом А, равным На ребрах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC, если высота призмы равна 4,5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Метод координат, Прямая призма, Угол между плоскостями

8
Задания Д7 C2 № 505701

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра PA, точка K — середина ребра PB. Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK, если PC = 6, AB = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.

9
Задания Д7 C2 № 505839

В правильной треугольной призме все ребра которой равны, точка — середина Найдите угол между плоскостью и плоскостью где — середина

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.

10
Задания Д7 C2 № 505845

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма , сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны Най­ди­те угол между пря­мы­ми и , если сумма длин всех сто­рон обоих ос­но­ва­ний равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.

11
Задания Д7 C2 № 505859

Дан куб c реб­ром, рав­ным 4. Пусть точка лежит на сто­ро­не так, что Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти , где — се­ре­ди­на

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.
Решение · ·

12
Задания Д7 C2 № 505865

Дан единичный куб Пусть точка — середина Найдите расстояние от точки до прямой

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.

13
Задания Д7 C2 № 505871

Сфера с цен­тром в точке впи­са­на в пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед Най­ди­те угол между пря­мы­ми и где — се­ре­ди­на

Раздел: Стереометрия
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.

14
Задания Д7 C2 № 505877

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA1B1C1D1, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит квад­рат со сто­ро­ной 1. На плос­ко­сти ос­но­ва­ния име­ет­ся квад­рат CDKM. В этот квад­рат впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра с вы­со­той, рав­ной длине от­рез­ка AA1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ос­но­ва­ния ци­лин­дра до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B1D1 равно 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.

15
Задания Д7 C2 № 505883

Дан куб c ребром 5 см. Точка движется по сторонам квадрата со скоростью 1см/с, стартуя из точки Двигаясь в направлении обхода точка через 7 секунд остановилась. Найти угол между плоскостью и плоскостью где — середина

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Куб, Метод координат, Угол между плоскостями

16
Задания Д7 C2 № 505895

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.

17
Задания Д7 C2 № 505907

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом и ги­по­те­ну­зой Найти рас­сто­я­ние от точки до пря­мой если точка — се­ре­ди­на ребра ко­то­рое равно

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Метод площадей, Расстояние от точки до прямой

18
Задания Д7 C2 № 505913

В кубе с ребром 1 на ребре и выбраны точки и соответственно так, что а Найти расстояние между прямыми и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.

19
Задания Д7 C2 № 505919

В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите угол между плоскостями и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.

20
Задания Д7 C2 № 505925

К диагонали куба провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Куб, Метод координат, Угол между прямыми

21
Задания Д7 C2 № 505931

Диа­го­наль куба слу­жит реб­ром дву­гран­но­го угла, грани ко­то­ро­го про­хо­дят через вер­ши­ны и Най­ди­те ве­ли­чи­ну этого угла.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Куб, Метод координат, Угол между плоскостями

22
Задания Д7 C2 № 505937

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах AB и AC выбраны точки M и K соответственно так, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK = 7 : 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC, если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.

23
Задания Д7 C2 № 505943

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной , со стороной основания, равной и боковым ребром 5 найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через середины и и вершину

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.

24
Задания Д7 C2 № 505949

Точки — середины ребер и соответственно куба Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 18.

25
Задания Д7 C2 № 505961

В правильной призме со стороной основания, равной и высотой, равной 2, проведено сечение через прямую которое делит призму на 2 многогранника равных объемов. Найти площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.

26
Задания Д7 C2 № 505967

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ост­рым углом А, рав­ным 30°. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы, про­хо­дя­ще­го через мень­ший катет BC од­но­го ос­но­ва­ния и се­ре­ди­ну ги­по­те­ну­зы про­ти­во­по­лож­но­го ос­но­ва­ния приз­мы, если рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми приз­мы равно рас­сто­я­нию от вер­ши­ны А до ис­ко­мо­го се­че­ния и равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.

27
Задания Д7 C2 № 505979

В пирамиде объемом 18 в основании лежит равнобедренный треугольник Боковая грань, проходящая через основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. На ребре отмечена точка так, что прямая образует угол с плоскостью основания, а объем пирамиды в два раза меньше объема пирамиды Найти площадь сечения если треугольник равносторонний.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.

28
Задания Д7 C2 № 505991

Точка — середина стороны основания правильной треугольной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12. Найдите синус угла между прямой и плоскостью боковой грани

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.

29
Задания Д7 C2 № 506009

В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.

30
Задания Д7 C2 № 506033

Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.

31
Задания Д7 C2 № 506075

Основанием четырехугольной пирамиды является квадрат а высота пирамиды совпадает с ребром Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата равна 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.

32
Задания Д7 C2 № 506081

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.

33
Задания Д7 C2 № 508096

Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S, вдвое больше площади её основания.

а) Постройте это сечение;

б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 83.

34
Задания Д7 C2 № 508102

В прямую призму ABCDA1B1C1D1, нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD' — боковые ребра, вписан шар радиуса 1.

а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C'.

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.

35
Задания Д7 C2 № 508114

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной, равной 3. Боковое ребро параллелепипеда равно 4. На ребре AA1 отмечена точка M так, что AM : A1M = 1 : 3.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD1.

б) Найдите площадь полученного сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.

36
Задания Д7 C2 № 508122

На боковых ребрах правильной треугольной призмы расположены точки и М соответственно. Известно, что угол между прямыми и АВ равен а угол между прямым КМ и АС –

а) Постройте плоскость, проходящую через точки и М.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.

37
Задания Д7 C2 № 508137

Плос­кость пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые ребра SA и SB тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но и делит объем пи­ра­ми­ды по­по­лам

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, если SK : SA = 2 : 3, SL : SB = 4 : 5.

б) В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит ме­ди­а­ну SN грани SBC?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.

38
Задания Д7 C2 № 508149

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота PO равна а сторона основания равна 6. Из точки О на ребро PC опущен перпендикуляр ОН. Докажите, что прямая PC перпендикулярна прямой DH. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.

39
Задания Д7 C2 № 508161

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра C1D1, точка P — середина ребра AD, точка M — середина ребра CC1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M.

б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.

40
Задания Д7 C2 № 508167

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD каж­дое ребро равно 12. На ребре PC от­ме­че­на точка K так, что PK : KC = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей ABK и PCD па­рал­лель­на плос­ко­сти ABC.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

41
Задания Д7 C2 № 508173

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь полученного сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.

42
Задания Д7 C2 № 508191

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M — точка пересечения медиан грани SBC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.

43
Задания Д7 C2 № 508197

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра AA1. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.

44
Задания Д7 C2 № 508203

В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Объем тела, Треугольная пирамида

45
Задания Д7 C2 № 508619

Цен­тры впи­сан­но­го и опи­сан­но­го шаров пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. Най­ди­те дву­гран­ный угол при сто­ро­не ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.

46
Задания Д7 C2 № 508632

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 1. Точка E — середина ребра АС.

а) Постройте сечение призмы плоскостью A1B1E;

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.

47
Задания Д7 C2 № 508639

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковое ребро составляет с высотой угол  Плоскость проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью

б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.

48
Задания Д7 C2 № 508951

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка N — середина СВ, а точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3 : 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.

49
Задания Д7 C2 № 511210

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка М — се­ре­ди­на ребра SC, точка K — се­ре­ди­на ребра AB.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая MK делит вы­со­ту SH пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 1 : 3.

б) Най­ди­те угол между пря­мой MK и плос­ко­стью ABC, если из­вест­но, что AB = 6, SA = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.

50
Задания Д7 C2 № 511217

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 про­ве­де­на плос­кость β.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость β пе­ре­се­ка­ет ребро AA1 в такой точке M, что AM : A1M = 1 : 2.

б) Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость β с плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если из­вест­но, что AB = 1, AA1 = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.

51
Задания Д7 C2 № 511224

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 про­ве­де­на плос­кость

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти DCC1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α, если из­вест­но, что AB = 1, AA1 = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.

52
Задания Д7 C2 № 511231

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми AC = 8 и BD = 6.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые BD1 и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BD1 и AC, если из­вест­но, что бо­ко­вое ребро приз­мы равно 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.

53
Задания Д7 C2 № 511238

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC бо­ко­вое ребро равно 10, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Через точки В и С пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру про­ве­де­на плос­кость α.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит пи­ра­ми­ду PABC на два мно­го­гран­ни­ка, объ­е­мы ко­то­рых от­но­сят­ся как 2 : 3.

Б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды PABC плос­ко­стью α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.

54
Задания Д7 C2 № 511245

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 AB = 8, BC = 6, AA1 = 12. Точка K — се­ре­ди­на ребра AD, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая BD1 па­рал­лель­на плос­ко­сти CKM.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью CKM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.

55
Задания Д7 C2 № 511252

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 AB = 6, BC = 4, AA1 = 7. Точка P — се­ре­ди­на ребра AB, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 2 : 5.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость MPC делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да в от­но­ше­нии 1 : 11.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти MPC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.

56
Задания Д7 C2 № 511259

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC от­ме­че­на точка K.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б) Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость ABK с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что PK : KC = 3 : 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.

57
Задания Д7 C2 № 511862

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 5. На ребре CC1 взята точка K так, что CK : KC1 = 1 : 4, а на ребре A1C1 взята точка M так, что A1M : MC1 = 1 : 2.

А) Опре­де­ли­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость BKM делит ребро A1B1 приз­мы.

Б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью BKM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.

58
Задания Д7 C2 № 511877

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка P — се­ре­ди­на ребра СВ, точка K лежит на ребре CD так, что KD : KC = 1 : 2. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки P, K и A1 пе­ре­се­ка­ет ребро DD1 в точке M.

а) До­ка­жи­те, что DM : D1M = 1 : 4.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми PKA1 и ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Деление отрезка, Метод координат, Угол между плоскостями

59
Задания Д7 C2 № 511884

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 AB = BC = 8, BB1 = 6. Точка K — се­ре­ди­на ребра BB1, точка P — се­ре­ди­на ребра C1D1. Най­ди­те:

а) пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K и P па­рал­лель­но пря­мой BD1;

б) объем боль­шей части па­рал­ле­ле­пи­пе­да, от­се­ка­е­мой от него этой плос­ко­стью.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.

60
Задания Д7 C2 № 511898

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 AB = 2, AA1 = 3.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AC1 и BE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC1 и BE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.

61
Задания Д7 C2 № 511916

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да PABCD с вер­ши­ной в точке Р. Через точку С и се­ре­ди­ну ребра АВ пер­пен­ди­ку­ляр­но к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α.

А) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро ВР в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от точки В.

Б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α если из­вест­но, что РА = 10, АС = 16.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.

62
Задания Д7 C2 № 512002

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC (ABC — ос­но­ва­ние) M — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани PBC.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая AM делит вы­со­ту РО пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от точки P.

б) Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, M, P, ели из­вест­но, что AB = 12, PC = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.

63
Задания Д7 C2 № 512649

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды PABCD лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ост­рым углом 45°. Бо­ко­вые грани PABи PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. 

а) До­ка­жи­те, что плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. 

б) Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что BC = 6, АD = 12, а объем пи­ра­ми­ды равен 27.     

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.

64
Задания Д7 C2 № 512662

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD вы­со­та РО в пол­то­ра раза боль­ше, чем сто­ро­на ос­но­ва­ния. 

а) До­ка­жи­те, что через точку О можно про­ве­сти такой от­ре­зок KM с кон­ца­ми на сто­ро­нах AD и BC со­от­вет­ствен­но, что  се­че­ние PKM пи­ра­ми­ды будет рав­но­ве­ли­ко ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. 

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PABMK к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида

65
Задания Д7 C2 № 512670

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Через центр верх­не­го ос­но­ва­ния приз­мы и се­ре­ди­ны двух ребер ниж­не­го ос­но­ва­ния про­ве­де­на плос­кость β.

а) Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость β с плос­ко­стью ABC.             

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA1B1C1 плос­ко­стью β, если из­вест­но, что ребро приз­мы равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.

66
Задания Д7 C2 № 513205

Через ребро BC пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 под углом 60° к плос­ко­сти ABC про­ве­де­на плос­кость α. Из­вест­но, что пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α равна а вы­со­та приз­мы равна 3.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро A1B1 в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от точки B1.

б) Най­ди­те объем мень­шей части, от­се­ка­е­мой от приз­мы ABCA1B1C1 плос­ко­стью α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.

67
Задания Д7 C2 № 513212

В  кубе АВСDA1B1C1D1 точка  N — се­ре­ди­на  ребра BC,  точка M лежит на ребре AB так, что MB = 2MA. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M и N па­рал­лель­но пря­мой ВD1, пе­ре­се­ка­ет ребро DD1 в точке K

а) До­ка­жи­те, что DK : D1K = 5 : 2. 

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D1 до пря­мой MN, если из­вест­но, что ребро куба равно 12. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.
Решение · ·

68
Задания Д7 C2 № 513219

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC (P — вер­ши­на) точка K – се­ре­ди­на AB, точка M — се­ре­ди­на BC, точка N лежит на ребре АР, при­чем АN : NP = 1 : 3. 

а) До­ка­жи­те, что  се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки NKM, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. 

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми NKM и ABC, если из­вест­но, что AB = 6, АР = 8.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.

69
Задания Д7 C2 № 513226

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC к ос­но­ва­нию ABC про­ве­де­на вы­со­та РО. Точка K — се­ре­ди­на СО.  

а) До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки А, P и K делит ребро BC в от­но­ше­нии 1:4. 

б) Най­ди­те объем боль­шей части пи­ра­ми­ды PABC, на ко­то­рые ее делит плос­кость APK, если из­вест­но, что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.

70
Задания Д7 C2 № 513233

Тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 с ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ABC и бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA1, BB1, CC1 рас­се­че­на плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, F, C, где точка E яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AA1, точка F лежит на ребре BB1, при­чем BF : FB1 = 1 : 2. 

а) До­ка­жи­те, что объем части приз­мы ABCA1B1C 1, за­клю­чен­ный между се­ку­щей плос­ко­стью и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем этой приз­мы со­став­ля­ет  объ­е­ма приз­мы.

б) Най­ди­те угол между ниж­ним ос­но­ва­ни­ем приз­мы и плос­ко­стью се­че­ния, если приз­ма ABCA1B1C1 — пра­виль­ная и все ее ребра равны между собой.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146.

71
Задания Д7 C2 № 513280

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SE и вер­ши­ну C, делит ребро SB в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны S.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SE и вер­ши­ну C, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

72
Задания Д7 C2 № 505659

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, со­дер­жа­щая диа­го­наль AC1, так, что се­че­ние — ромб. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если AB = 3, BC = 2 и AA1 = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 51.

73
Задания Д7 C2 № 505677

Объем пи­ра­ми­ды ABCD равен 5. Через се­ре­ди­ны ребер AD и BC про­ве­де­на плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти пло­щадь се­че­ния, если рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до вер­ши­ны A равно 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.

74
Задания Д7 C2 № 505695

У Се­вер­но­го по­лю­са, на ост­ро­ве Шпиц­бер­ген в чер­то­гах Снеж­ной ко­ро­ле­вы хра­нил­ся не­бы­ва­лой кра­со­ты ле­дя­ной алмаз в форме тет­ра­эд­ра SABC. В Но­во­год­нюю ночь злой тролль по­хи­тил часть ал­ма­за, и эта часть имеет форму тет­ра­эд­ра SAKM. Его вер­ные уче­ни­ки и от остав­шей­ся части взяли себе кусок и тоже в форме тет­ра­эд­ра — KABC. Снеж­ной ко­ро­ле­ве оста­лась часть ал­ма­за, и она имеет форму тет­ра­эд­ра CAKM. Какую часть пер­во­на­чаль­но­го ал­ма­за оста­ви­ли Снеж­ной ко­ро­ле­ве тролль и уче­ни­ки? В тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC, AS = 4, AK пер­пен­ди­ку­ляр­но SB, AM пер­пен­ди­ку­ляр­но SC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 57.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Объем как сумма объемов частей, Тетраэдр

75
Задания Д7 C2 № 505719

На про­дол­же­нии ребра ST за точку T пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SPQRT с вер­ши­ной S взята точка B так, что рас­сто­я­ние от этой точки до плос­ко­сти SPQ равно Найти длину от­рез­ка BT, если QR = 12, SR = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 61.

76
Задания Д7 C2 № 505725

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да ABCD с вер­ши­ной D, грани ко­то­рой ABD и ACD — пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, ребро AD пер­пен­ди­ку­ляр­но ме­ди­а­не ос­но­ва­ния АК и AD = AK. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, не про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер AD и ВС, яв­ля­ет­ся рав­но­боч­ная тра­пе­ция EFGH с ос­но­ва­ни­я­ми EF и GH, при­чем точка Е делит ребро BD по­по­лам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3GC. Найти от­но­ше­ние пло­ща­ди тра­пе­ции EFGH к пло­ща­ди грани BCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 62.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Площадь сечения, Сечение -- трапеция, Треугольная пирамида

77
Задания Д7 C2 № 505737

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 6 и BC = 9. Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей AC и BD ос­но­ва­ния и равна Точки E и F лежат на реб­рах AB и AD со­от­вет­ствен­но, при­чем AE = 4, AF = 6. Найти пло­щадь мно­го­гран­ни­ка, по­лу­чен­но­го при пе­ре­се­че­нии пи­ра­ми­ды с плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E и F и па­рал­лель­ной ребру AS.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.

78
Задания Д7 C2 № 505827

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми AB = AC = 5 и BC = 6. Ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Найти ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что от­но­ше­ние ра­ди­у­са впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду сферы к ребру SA равно 2/7.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Описанный шар, Треугольная пирамида, Шар

79
Задания Д7 C2 № 505833

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD угол между гра­ня­ми ABC и ACD равен плос­кий угол BAC равен а рёбра AC и AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Найти длину ребра AD, если AB = 5,

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Трехгранный угол

80
Задания Д7 C2 № 505955

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S, точка M — се­ре­ди­на ребра BS. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­ве­ден­но­го через пря­мую AM па­рал­лель­но одной из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния, ука­зан­ная диа­го­наль не при­над­ле­жит се­че­нию. Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равны а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 19.

81
Задания Д7 C2 № 506039

Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да ABCD пе­ре­се­ка­ет­ся с плос­ко­стью P по че­ты­рех­уголь­ни­ку EFGH так, что вер­ши­ны E и F лежат на реб­рах AB и AC и длина от­рез­ка EF равна 1. Из­вест­но, что плос­кость P па­рал­лель­на про­ти­во­по­лож­ным реб­рам AD и BC, ко­то­рые равны со­от­вет­ствен­но 4 и 2. Найти пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.

82
Задания Д7 C2 № 508131

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Через се­ре­ди­ны ребер AB и BC па­рал­лель­но пря­мой ВD1 про­ве­де­на плос­кость.

А) По­строй­те се­че­ние куба этой плос­ко­стью.

Б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.

83
Задания Д7 C2 № 508745

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми АВ = 6, ВС = 9. Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через точку О пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей АС и BD ос­но­ва­ния и равна Точки Е и F лежат на реб­рах АВ и AD со­от­вет­ствен­но, при­чем АЕ = 4, AF = 6.

а) По­стро­ить се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки Е и F па­рал­лель­но ребру AS.

б) Найти пло­щадь этого се­че­ния.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.

84
Задания Д7 C2 № 513764

На реб­рах АА1, CC1, C1D1 па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 рас­по­ло­же­ны точки  M, N и  P так, что AM : AA1 = C1N : C1C = C1P : C1D1 = 4 : 5.

а) По­строй­те точку H пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNP с пря­мой BC.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние BH : BC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.
Решение · ·

85
Задания Д7 C2 № 513771

Все ребра пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды FABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 7. Точки P, Q, R лежат на реб­рах FA, AB и BC со­от­вет­ствен­но, при­чем FP = BR = 4, AQ = 3.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру FD.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.

86
Задания Д7 C2 № 513778

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де FABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на реб­рах BC и CD со­от­вет­ствен­но, при­чем СМ = 3, DN = 2. 

Плос­кость α про­хо­дит через точки M, N и па­рал­лель­на пря­мой FC.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру AF

б) Вы­чис­ли­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.

87
Задания Д7 C2 № 513792

В кубе ABCDAA1B1C1D1 на про­дол­же­нии ребра BB1 от­ме­че­на точка P так, что PB : BB1 = 3 : 4. Через точки А и P па­рал­лель­но пря­мой ВD1 про­ве­де­на плос­кость α. 

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DC в от­но­ше­нии 1 : 2.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью α, если из­вест­но, что PB = 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 151.

88
Задания Д7 C2 № 514059

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка P — се­ре­ди­на AB, точка K — се­ре­ди­на BC. Через точки P и K па­рал­лель­но SB про­ве­де­на плос­кость Ω.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью Ω яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. 

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти Ω, если из­вест­но, что SC = 5, AC = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.

89
Задания Д7 C2 № 514066

Дан куб ABCDA1B1C1D1.  

а) До­ка­жи­те, что каж­дая из плос­ко­стей BDA1 и B1D1С пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC1

б) Най­ди­те объем части куба, за­клю­чен­ной между плос­ко­стя­ми BDA1 и B1D1C, если из­вест­но, что от­ре­зок диа­го­на­ли AC1, за­клю­чен­ный между этими плос­ко­стя­ми, имеет длину

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.

90
Задания Д7 C2 № 514073

Через се­ре­ди­ну ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой ВD1 про­ве­де­на плос­кость α. 

а) До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем куба плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и ABC.    

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.

91
Задания Д7 C2 № 514568

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 слу­жит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точка P — се­ре­ди­на ребра AB.

а) До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет приз­му плос­кость PCD1, равно 7 : 17.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью PCD1, если из­вест­но, что AB = 8, AD = 3, AA1 = 4, ∠BAD = 120°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156.

92
Задания Д7 C2 № 514575

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 точка P — се­ре­ди­на ребра A1B1, точка M — се­ре­ди­на ребра A1C1.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BPM про­хо­дит через точку C.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость BPM раз­би­ва­ет дан­ную приз­му, если из­вест­но, что AB = 6, AA1 = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.

93
Задания Д7 C2 № 514582

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре DD1 от­ме­че­на точка O так, что

а) До­ка­жи­те, что объём дан­ной приз­мы в 4,5 раза боль­ше, чем объём пи­ра­ми­ды OABB1A1.

б) Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды OABB1A1, если из­вест­но, что AB = 1, DD1=3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Правильная шестиугольная призма

94
Задания Д7 C2 № 514596

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) До­ка­жи­те, что объём пи­ра­ми­ды с ос­но­ва­ни­ем A1BCD1 и вер­ши­ной в точке B1 со­став­ля­ет тре­тью часть объёма куба.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми B1A1B и B1D1C.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Куб, Угол между плоскостями

95
Задания Д7 C2 № 515649

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4. Точка L — се­ре­ди­на ребра SC. Тан­генс угла между пря­мы­ми BL и SA равен

а) Пусть O — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. До­ка­жи­те, что пря­мые BO и LO пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C).

96
Задания Д7 C2 № 515725

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны длины рёбер AA1 = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K — се­ре­ди­на ребра C1D1.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точку B пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AK, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок A1K.

б) Най­ди­те тан­генс угла между этой плос­ко­стью и плос­ко­стью ABC.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 5. (Часть C).

97
Задания Д7 C2 № 515744

Ос­но­ва­ние пря­мой четырёхуголь­ной приз­мы ABCDA1B1C1D1 — пря­мо­уголь­ник ABCD, в ко­то­ром Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B1D1 равно 5.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точку D пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD1, делит от­ре­зок BD1 в от­но­ше­нии 1 : 7, счи­тая от вер­ши­ны D1.

б) Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку D пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD1, и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 6. (Часть C).

98
Задания Д7 C2 № 515763

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S, все рёбра ко­то­рой равны 2, точка M — се­ре­ди­на ребра AB, точка O — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка F делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая MF пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SC.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью MBF и плос­ко­стью ABC.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 7. (Часть C).

99
Задания Д7 C2 № 516401

На ребре пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да взята точка так, что , на ребре — точка так, что , а точка — се­ре­ди­на ребра Из­вест­но, что , ,

а) До­ка­жи­те, что плос­кость про­хо­дит через вер­ши­ну

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью


Аналоги к заданию № 516401: 516381 Все


100
Задания Д7 C2 № 521096

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме  все ребра равны между собой. Точка К — се­ре­ди­на ребра .  

а) До­ка­жи­те, что пря­мые  пер­пен­ди­ку­ляр­ны.  

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми  и , если ребро приз­мы равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 175.

101
Задания Д7 C2 № 521332

В кубе ABCDA1B1C1D1точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ : В1М = 1 : 3. Через точки М и С1 па­рал­лель­но BD1 про­ве­де­на плос­кость β.

 

а) До­ка­жи­те, что плос­кость β про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра АА1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью β, если из­вест­но, что АВ = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 201.

102
Задания Д7 C2 № 521345

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де АВСDA1B1C1D1 АВ = 2, АD = 1, АА1 = 3. Точка К лежит на ребре СС1 так, что СK : С1K = 5 : 4.

 

а) До­ка­жи­те, что пря­мые DB1 и D1K пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D1 до плос­ко­сти 1D.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 202.

103
Задания Д7 C2 № 521382

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром АВ = 4, Из­вест­но, что бо­ко­вая грань SBC пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию АВС, SB = SC, а вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная из точки S, равна 112 . На реб­рах SB и SC от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки К и Р так, что ВК : SK = CP : SP = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды плос­ко­стью АРК яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник.

б) Най­ди­те объем мень­шей части пи­ра­ми­ды, на ко­то­рые её делит плос­кость АРК.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 204.

104
Задания Д7 C2 № 521389

Дана пра­виль­ная пи­ра­ми­да PABCD с вер­ши­ной в точке Р. Через точку В пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой DP про­ве­де­на плос­кость Ω, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет DP в точке К.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые ВК и АС пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью Ω, если из­вест­но, что сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6 и вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 205.

105
Задания Д7 C2 № 521399

Точки М, N и К при­над­ле­жат со­от­вет­ствен­но реб­рам АD, AB и BC тет­ра­эд­ра ABCD,

при­чем АМ : МD = 2 : 3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.

а) По­строй­те се­че­ние тет­ра­эд­ра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки М, N, K.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром се­ку­щая плос­кость делит ребро CD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 206.

106
Задания Д7 C2 № 521406

В ос­но­ва­нии тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник АВС. Бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды BCD пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию, BD = DC.

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро ВС пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру AD.

б) Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCМD, где М — точка пе­ре­се­че­ния ребра АD и плос­ко­сти

се­че­ния, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды ABCD равна а бо­ко­вое ребро AD на­кло­не­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 207.

107
Задания Д7 C2 № 521418

На диа­го­на­ли АВ1 грани АВВ1А1 тре­уголь­ной приз­мы взята точка М так, что АМ : МВ1 = 5 : 4.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку М па­рал­лель­но диа­го­на­лям А1С и ВС1 двух дру­гих гра­ней.

б) Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость се­че­ния делит ребро СС1.