Область допустимых значений первого неравенства задается соотношениями:

На области допустимых значений справедливы равносильности:

Поэтому на ОДЗ имеем:

Заметим, что

Поэтому

Окончательно имеем:

Ответ:

Решим второе неравенство системы:

Искомое решение — отрезок

Решим первое неравенство системы на множестве решений второго неравенства. На отрезке отрезке неравенство определено, и его знак совпадает со знаком произведения Поскольку на указанном отрезке числитель и знаменатель первой дроби положительны, получаем: откуда или Тем самым, множество решений системы:

Ответ:

Приведём авторское решение.

Решим первое неравенство системы. Значения при которых определено первое неравенство: и Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем, что Тогда

Второй случай: Получаем, что следовательно, при первое неравенство исходной системы верно.

Решение первого неравенства исходной системы:

Решим второе неравенство системы:

Решение второго неравенства системы:

Пересекая полученные множества решений, находим решение исходной системы неравенств:

Примечание.

Укажем ещё один способ решить первое неравенство. Заметим, что область его определения — множество На этом множестве основание и аргумент множителя оба больше 1, поэтому он положителен. Тогда остаётся решить неравенство что на ОДЗ даёт откуда и окончательно с учётом ОДЗ:

Найдем ограничения на x системы в целом.

Очевидно, равенство в первом нестрогом неравенстве будет выполнено при или При и будем также иметь:   

Таким образом, решения первого неравенства представляются множеством

Теперь рассмотрим второе неравенство системы.

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Решения второго неравенства системы:

Решения исходной системы:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда откуда находим решение первого неравенства системы:

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Учитывая условие получаем:

Второй случай:

Учитывая условие получаем

Решение второго неравенства системы:

Пересекая решения неравенств, получаем решение системы.

Ответ:

1.Решим первое неравенство:

2. Решим второе неравенство при всех При условиях и получаем неравенство

При указанных условиях множество решений неравенства:

3. Решением системы является общая часть решений двух неравенств. Так как имеем откуда получаем множество решений системы:

Ответ:

1. Решим первое неравенство:

2. Решим второе неравенство. Заметим, что при всех При условиях и получаем неравенство

При указанных условиях получаем: или

3. Решением системы является общая часть решений двух неравенств. поэтому Следовательно, или

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда или откуда находим: или

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Учитывая условие получаем: или

Второй случай:

Учитывая условие получаем: или

Множество решений второго неравенства исходной системы:

3. Учитывая, что получим множество решений исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда или откуда: или

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Откуда, учитывая условие получаем: или

Второй случай:

Учитывая условие получаем: или

Множество решений второго неравенства:

3. Учитывая, что получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем: откуда множество решение первого неравенства системы:

2. Решим второе неравенство системы:

Сделаем замену

Откуда получаем:

3. Учитывая, что получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем: откуда получаем множество решений первого неравенства системы:

2. Решим второе неравенство системы:

Сделаем замену

Тогда или откуда получаем множество решений второго неравенства системы:

3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем или откуда находим множество решений первого неравенства системы:

2. Решим второе неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Откуда, учитывая условие получаем: или

Второй случай:

Учитывая условие получаем: или

Множество решений второго неравенства исходной системы:

3. Учитывая, что получаем множество решений исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену ,

Возвращаясь к исходной переменной, получим: или

2. Решим второе неравенство системы:

Рассмотрим два случая.

а) Первый случай:

Откуда, учитывая условие находим: или

б) Второй случай:

Учитывая условие , получаем: или

Множество решений второго неравенства исходной системы:

3. Учитывая, что , получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство системы.

Пусть тогда данное неравенство принимает вид

Учитывая условие получаем

Имеем:

1)

2)

Множество решения первого неравенства системы:

Решим теперь второе неравенство системы.

Заметим, что при и исходное неравенство равносильно неравенству:

Положив в последнем неравенстве получаем:

Таким образом, имеем:

Учитывая то, что получаем множество решений второго неравенства:

Принимая во внимание, что находим решение данной системы:

Ответ:

Решим первое неравенство системы.

Пусть тогда данное неравенство принимает вид

Учитывая условие получаем

Далее имеем:

1)

2)

Решения первого неравенства системы:

Решим теперь второе неравенство системы.

Заметим, что при и исходное неравенство равносильно неравенству

Положив в последнем неравенстве получаем

Далее имеем:

Учитывая то, что получаем решения второго неравенства:

Принимая во внимание, что находим решение данной системы.

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай:

Решение первого неравенства исходной системы: или

2. Решим второе неравенство системы:

Решение второго неравенства системы: или

3. Пересекая полученные множества получаем решение системы:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай

Второй случай:

Решение первого неравенства исходной системы: или

2. Решим второе неравенство системы:

3. Пересекая полученные множества получим решение исходной системы неравенств:

Ответ: (4; 5).

1) Решим первое неравенство системы: Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Второй случай:

Множество решений первого неравенства исходной системы:

2) Решим второе неравенство системы:

3) Решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Пусть тогда имеем:

Вернёмся к исходной переменной:

Решение первого неравенства:

Решим второе неравенство методом интервалов. Найдём ОДЗ:

Определим знаки левой неравенства на ОДЗ (см. рис.):

Тем самым,решение второго неравенства системы:

Заметим, что Пересекая решения обоих неравенств исходной системы, получаем ответ:

Ответ:

Примечание.

Заметив, что первое неравенство верно только для можно отметить, что первый множитель произведения неположителен. Тогда второе неравенство можно решить иначе. Отметим, что число 0 является его решением и рассмотрим значения Тогда Поскольку при аргумент логарифма больше 1, основание логарифма должно быть меньше 1. Тогда на области имеем: откуда Вместе с числом 0 это и даёт ответ.

Решим первое неравенство. Рассмотрим два случая.

Первый случай: Тогда имеем систему:

Второй случай: Тогда имеем систему:

Множество решений первого неравенства:

Решим второе неравенство:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство. Рассмотрим два случая.

Первый случай: Тогда имеем систему

Второй случай: Тогда имеем систему:

Множество решений первого неравенства:

Решим второе неравенство:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда , откуда находим решение первого неравенства системы

2. Решим второе неравенство системы:

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

откуда находим: Полученные значения переменной удовлетворяют условию

Второй случай: Имеем:

Учитывая условие , получаем: Решение второго неравенства исходной системы:

3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Найдём область определения неравенства:

Из получаем: или Из получаем: или

Из получаем: откуда

Из получаем:

Пересекая полученные множества, находим множество решений системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда откуда находим решение первого неравенства системы:

2. Решим второе неравенство системы:

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Все полученные значения переменной удовлетворяют условию

Второй случай:

Учитывая условие получаем: Множество решений второго неравенства исходной системы:

3. Учитывая, что получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай:

Множество решений первого неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы:

3. Пересекая полученные промежутки, находим решение системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай:

Множество решений первого неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы:

3. Пересекая полученные множества, найдём решение исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Эта система решений не имеет.

Второй случай:

2. Решим второе неравенство системы:

3. Пересекая полученные решения, найдём множество решений исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай:

2. Решим второе неравенство системы:

3. Пересекая полученные решения, найдём множество решений системы неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство системы:

Множество решений первого неравенства системы:

Решим второе неравенство системы. Пусть тогда данное неравенство принимает вид:

Область определения этого неравенства задается условием:

При левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех Далее имеем:

Возвращаясь к исходной переменной получаем:

Таким образом, множество решений второго неравенства:

Принимая во внимание, что находим, что решение данной системы:

Ответ:

Решим первое неравенство системы:

Множество решений первого неравенства системы:

Решим второе неравенство системы. Пусть тогда данное неравенство принимает вид:

Область определения этого неравенства задается условием:

При левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех

Имеем:

Возвращаясь к исходной переменной получаем:

Таким образом, множество решений второго неравенства:

Принимая во внимание, что находим, что решение данной системы:

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Пусть тогда имеем:

Вернёмся к исходной переменной:

Тем самым, множество решений первого неравенства:

Решим второе неравенство. Используя свойства логарифма, имеем:

Решение второго неравенства исходной системы:

Пересекая решения получим, множество решений исходной системы неравенств:

Ответ:

Заметим, что при всех значениях переменной, поэтому первое неравенство можно умножить на не меняя его знака, откуда имеем:

Решим второе неравенство системы, используя теорему о знаке логарифма:

Учитывая, что получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Значения при которых определено первое неравенство: и Рассмотрим два случая.

Первый случай: Получаем, что Тогда:

Второй случай: Получаем, что следовательно, при первое неравенство исходной системы верно.

Решение первого неравенства исходной системы:

Решим второе неравенство системы:

Решение второго неравенства системы:

Пересекая полученные множества решений, находим решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство:

Сделаем замену

Если то

Если то

Значит, решение первого неравенства или

Решим второе неравенство. Разделим обе части на

Сделаем замену Получаем

Отсюда находим

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Учитывая, что находим решение системы:

Ответ:

Рассмотрим первое неравенство системы. Положим Тогда неравенство принимает вид откуда Таким образом,

Рассмотрим второе неравенство системы. Так как и для любого воспользовавшись тождеством и методом интервалов, получаем:

Сравним числа и Имеем а, значит, т. е., откуда и получаем решение данной системы:

Ответ:

Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем: откуда находим решение первого неравенства системы:

2. Решим второе неравенство системы:

Сделаем замену

Тогда или откуда или

3. Учтём, что Пересекая полученные решения найдём множество решений исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену Имеем:

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

Поскольку Решение первого неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Учитывая условие получаем:

Второй случай:

Учитывая условие получаем :

Таким образом, решение второго неравенства исходной системы:

3. Пересекая полученные множества, найдём решение исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда или откуда находим множество решений первого неравенства системы:

2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

Откуда, учитывая условие получаем: или

Второй случай:

Учитывая условие получаем: или

Множество решений второго неравенства системы:

3. Уитывая, что получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство:

Сделаем замену

Если то

Если то

Множество решений первого неравенства:

Решим второе неравенство. Разделим правую и левую части на

Сделаем замену Получаем:

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: то есть

Решением системы является пересечение решений двух неравенств. Учитывая, что находим решение системы:

Ответ:

Решим первое неравенство:

Сделаем замену

Вернёмся к исходной переменной:

1.

2.

Итак, решение неравенства: или

Решим второе неравенство. Разделим обе части на

Пусть имеем: Откуда, возвращаясь к исходной переменной, получим:

Решением системы является пересечение решений двух неравенств. Учитывая, что находим решение системы.

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при то есть при

Пусть Тогда неравенство принимает вид откуда или При всех допустимых основание степени положительно и, следовательно, Значит, неравенство выполняется только при

Выясним, при каких это происходит:

Подставим в первое неравенство найденные значения

1. При :

2. При :

3. При :

Неравенству удовлетворяет только значение

Ответ: {1,2}.

Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при , то есть при

Пусть Тогда неравенство принимает вид

Последнее неравенство выполнено только при Значит,

Подставим в первое неравенство найденные значения

1. При

2. При

3. При

Неравенству удовлетворяют значения и

Ответ: {−1; 2,5}.

Решим первое неравенство:

Осталось найти положительные решения второго неравенства. Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, не меньше 1:

При положительных значениях переменной справедливы неравенства: и а значит,

Тем самым, неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба выражения равны нулю.

Следовательно,

Отрицательное решение неравенства не является решением системы.

Ответ: {6}.

Заметим, что по смыслу второго неравенства а значит, оба слагаемых в левой части первого неравенства положительны. Поскольку слагаемые взаимно обратные, их сумма не меньше двух. Тогда неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба слагаемых равны 1.

Имеем:

Осталось проверить, является ли найденное решение первого неравенства решением второго неравенства. Выполним проверку:

Следовательно, число 5 является решением системы неравенств.

Ответ: {5}.

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Учитывая, что получаем: откуда находим решение первого неравенства системы

2. Решим второе неравенство системы:

Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение второго неравенства системы: или

3. Учитывая, что получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Решим первое неравенство системы.

Пусть тогда неравенство примет вид:

При получим:

При получим:

Решение первого неравенства исходной системы:

Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.

Первый случай:

В первом случае решений нет.

Второй случай:

Решение второго неравенства исходной системы:

Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы:

Множество решений первого неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы:

Пусть тогда неравенство примет вид:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай:

Решение второго неравенства исходной системы:

3. Учитывая, что получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Пусть тогда первое неравенство запишется в виде:

Возвращаясь к исходной переменной, получим:

Решение первого неравенства исходной системы:

Решим второе неравенство системы:

 

Решение второго неравенства исходной системы:

Пересекая полученные множества, найдём решение исходной системы неравенств:

Ответ:

1. Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Второй случай: Имеем:

2. Решим второе неравенство системы:

3. Персекая полученные множества найдём решение исходной системы неравенств:

Ответ: