Каталог заданий.
Системы с логарифмами по переменному основанию
Системы с логарифмами по переменному основанию
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
2
неравенство 
определено, и его знак совпадает со знаком произведения 
Поскольку на указанном отрезке числитель и знаменатель первой дроби положительны, получаем: 
откуда 
или 
Тем самым, множество решений системы: 
при которых определено первое неравенство: 
и 
Рассмотрим два случая. 
Тогда
Получаем, что 
следовательно, при 
На этом множестве основание и аргумент множителя 
оба больше 1, поэтому он положителен. Тогда остаётся решить неравенство 
что на ОДЗ даёт 
откуда 
и окончательно с учётом ОДЗ: 3
или 
При 
и 
будем также иметь: 
4
откуда находим решение первого неравенства системы: 
получаем: 
получаем 
5
при всех 
При условиях 
и 
имеем 
откуда получаем множество решений системы: 
6
при всех 
получаем неравенство
или 
поэтому 
Следовательно,
или 
7
или 
откуда находим: 
или 
получаем: 
или 
получаем: 
или 
получим множество решений исходной системы неравенств: 
8
или 
откуда: 
или 
или 
получаем решение исходной системы неравенств: 
имеет бесконечно много корней. Поэтому для придания смысла величине 
требовалось бы дополнительное соглашение о том, что считать этой величиной.9
получаем: 
откуда множество решение первого неравенства 
получаем решение исходной системы неравенств: 
10
получаем: 
откуда получаем множество решений первого неравенства 
или 
откуда получаем множество решений второго неравенства 
получаем решение исходной системы неравенств: 
11
получаем 
или 
откуда находим множество решений первого неравенства системы: 
получаем множество решений исходной системы 
Решение · ·
в числителе при решении первого неравенства в третьем действии? Ответьте пожалуйста!
то можно поделить обе части неравенства на 
из знаменателя. 12
, 
или 
, получаем: 
, получаем решение исходной системы неравенств: 
13
тогда данное неравенство принимает вид 
получаем
и 
исходное неравенство равносильно неравенству: 
получаем: 
получаем множество решений второго неравенства: 
находим решение данной системы: 
— просто ОДЗ.14
тогда данное неравенство принимает вид 
получаем
и 
исходное неравенство равносильно неравенству
получаем 
получаем решения второго неравенства: 
находим решение данной системы.
к основанию 
15
или 
или 
16
или 
17
Рассмотрим два случая. 
18
тогда имеем:
Пересекая решения обоих неравенств исходной системы, получаем ответ: 
можно отметить, что первый множитель произведения 
неположителен. Тогда второе неравенство можно решить иначе. Отметим, что число 0 является его решением и рассмотрим значения 
Тогда 
Поскольку при 
аргумент логарифма больше 1, основание логарифма должно быть меньше 1. Тогда на области 
откуда 
Вместе с числом 0 это и даёт ответ.19
Тогда имеем систему:
Тогда имеем систему:
20
Тогда имеем систему
Тогда имеем систему:
21
, откуда находим решение первого неравенства системы 
Полученные значения переменной удовлетворяют условию 
Имеем:
, получаем: 
Решение второго неравенства исходной системы: 
получаем решение исходной системы неравенств:
,поэтому модуль сразу однозначно снимается.22
получаем: 
Из 
получаем: 
или 
получаем: 
откуда 
получаем:
23
откуда находим решение первого неравенства системы: 
получаем: 
Множество решений второго неравенства исходной системы: 
получаем решение исходной системы неравенств: 
24
25
26
27
28
тогда данное неравенство принимает вид:
левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех 
Далее имеем:
находим, что решение данной системы: 
29
тогда данное неравенство принимает вид:
левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех 
находим, что решение данной системы: 
, поэтому рассматривается только один случай. Второй случай в данном неравенстве невозможен
достаточно, для решения этого примера. Тогда в верхнем неравенстве системы 
левая часть положительна, а правая НЕ МЕНЬШЕ положительной левой.
не самая простая задача30
тогда имеем: 
31
при всех значениях переменной, поэтому первое неравенство можно умножить на 
не меняя его знака, откуда имеем:
получаем решение исходной системы неравенств: 
32
и 
Получаем, что 
Тогда:
следовательно, при 
первое неравенство исходной системы верно.
33
то
то
или 
Получаем 
находим решение системы: 
34
Тогда неравенство принимает вид 
откуда 
Таким образом, 
и 
для любого 
воспользовавшись тождеством 
и методом интервалов, получаем:
и 
Имеем 
а, значит, 
т. е., 
откуда и получаем решение данной системы: 
35
получаем: 
откуда находим решение первого неравенства системы: 
или 
откуда 
или 
Пересекая полученные решения найдём множество решений исходной системы неравенств: 
36
Имеем:
Решение первого неравенства исходной системы: 
37
или 
откуда находим множество решений первого неравенства системы: 
получаем: 
или 
получаем: 
или 
получаем решение исходной системы неравенств:
38
то
то 
Получаем: 
то есть 
находим решение системы: 
39
или 
имеем: 
Откуда, возвращаясь к исходной переменной, получим:
находим решение системы.
40
то есть при 
Тогда неравенство принимает вид 
откуда 
или 
При всех допустимых 
основание степени положительно и, следовательно, 
Значит, неравенство выполняется только при 
: 
: 
: 
41
, то есть при 
Тогда неравенство принимает вид 
и 
42
и 
а значит, 
и 
если решать методом рационализации43
а значит, оба слагаемых в левой части первого неравенства положительны. Поскольку слагаемые взаимно обратные, их сумма не меньше двух. Тогда неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба слагаемых равны 1.
откуда 
, а значит и 44
получаем: 
откуда находим решение первого неравенства системы 
или 
откуда находим решение второго неравенства системы: 
получаем решение исходной системы неравенств: 
45
получим:
получим:
получаем решение исходной системы неравенств: 
46
тогда неравенство примет вид: 
получаем решение исходной системы неравенств: 
47
тогда первое неравенство запишется в виде:
48
Пройти тестирование по этим заданиям
Можно ли при решении 2 неравенства воспользоваться свойствами логарифмов и вынести 2 из основания логарифма, а затем и 2 в показателе записать перед логарифмом. Если нет, то почему?
Можно, но только осторожно...
Воспользовавшись формулой
Не потеряйте МОДУЛИ!!!