ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д11 C3 № 505424 Добавить в вариант

Решите систему неравенств $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка \leqslant0,25 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 10 правая круглая скобка минус 0,2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате минус 4x минус 80 правая круглая скобка \leqslant0. конец системы$

Спрятать решение

Решение.

Решим первое неравенство системы. Значения x, при которых определено первое неравенство: $минус 4 меньше x меньше 3,$ $3 меньше x меньше 4.$ Рассмотрим два случая.

Первый случай: $минус 4 меньше x меньше 3.$ Получаем, что $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка больше 0;4 минус x больше 1.$ Тогда

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка \leqslant0, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно система выражений 0 меньше x плюс 4\leqslant1, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно минус 4 меньше x\leqslant минус 3.$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка \leqslant0, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше x плюс 4\leqslant1, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно минус 4 меньше x\leqslant минус 3.$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка \leqslant0, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше x плюс 4\leqslant1, минус 4 меньше x меньше 3 конец системы равносильно минус 4 меньше x\leqslant минус 3.$

Второй случай: $3 меньше x меньше 4.$ Получаем, что $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка меньше 0; логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка больше 0,$ следовательно, при $3 меньше x меньше 4$ первое неравенство исходной системы верно.

Решение первого неравенства исходной системы: $левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка .$

Решим второе неравенство системы:

$25 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 10 правая круглая скобка минус 0,2 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате минус 4x минус 80 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2x в квадрате минус 4x плюс 20 правая круглая скобка \leqslant5 в степени левая круглая скобка минус 2x в квадрате плюс 4x плюс 80 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 2x в квадрате минус 4x плюс 20\leqslant минус 2x в квадрате плюс 4x плюс 80 равносильно x в квадрате минус 2x минус 15\leqslant0 равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно 5.$

Решение второго неравенства системы: $левая квадратная скобка минус 3; 5 правая квадратная скобка .$

Пересекая полученные множества решений, находим решение исходной системы неравенств: $левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 505418: 510831 505424 505451 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 302;

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2014.

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Системы неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь