Тип 14 № 681300 
Стереометрическая задача. Сечения пирамид
i
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB = 2. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D.
б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S, если площадь сечения равна 
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB = 1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершины B и D.
б) В каком отношении плоскость α делит ребро SC, считая от вершины S, если площадь сечения равна 
а) Проведем отрезок BH — высоту треугольника SBC. Треугольники SBC и SDC равны, поэтому отрезок DH — высота треугольника SDC. Тогда плоскость BHD по признаку перпендикулярна прямой SC. Кроме того, точка O лежит в этой плоскости, следовательно, плоскость BHD совпадает с плоскостью α.
б) Выразим площадь равнобедренного треугольника BHD:
Прямая OH перпендикулярна прямой SC, поскольку лежит в плоскости BDH. Тогда
откуда 
По свойству прямоугольного треугольника 
откуда
Отрезок SH равен 
Значит, искомая плоскости делит ребро SC в отношении
Ответ: б) 8 : 1.
Приведем решение пункта а) Александра Турбанова (Липецк).
Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. Пусть SO = a, тогда в этой системе верны координаты:
Плоскость α перпендикулярна ребру SC, поэтому вектор нормали к этой плоскости совпадает с вектором 
Тогда уравнение плоскости α имеет вид 
Подставим в это уравнение координаты точки O, получим:
Следовательно, плоскость проходит через начало координат, то есть точку B. Подставим координаты точки D: 
значит, и точка D принадлежит плоскости α.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 3 : 1.
По свойству прямоугольного треугольника 
Отрезок SH равен 
Значит, плоскость α делит ребро SC в отношении 