Квадратное уравнение 
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.
а) Найдите все возможные значения p, если q = 5.
б) Могут ли одновременно выполняться неравенства p < 10 и q > 30?
в) Найдите наименьшее значение p при q > 30.
Тогда по теореме Виета 
а 
Число 5 является простым, поэтому единственный возможный вариант корней 
Тогда получаем единственное возможное значение: 
а дискриминант уравнения 
Уравнение имеет два корня, следовательно, дискриминант уравнения положителен. Тогда:
Наименьшее натуральное значение p, удовлетворяющее полученному неравенству, равно 12.
то 
Квадратное уравнение 
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.
а) Найдите все возможные значения p, если q = 11.
б) Могут ли одновременно выполняться неравенства 
и 
в) Найдите наибольшее значение (p + q) при 
и 
причём 
Тогда 
и 
Поскольку 
− простое
и 
тогда 
то 
и 
откуда получаем: 
и 
Следовательно, 
Заметим, что равенство 
может достигаться только при 
но в таком случае уравнение 
не имеет целых корней. Уравнение 
имеет корни 1 и 18, и для него 
Значит, наибольшее значение 
равно 37. Квадратное уравнение 
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.
а) Найдите все возможные значения p, если q = 13.
б) Могут ли одновременно выполняться неравенства 
и 
в) Найдите наименьшее значение p при 
причём 
Тогда 
и 
Поскольку 
получаем: 
тогда p = 14.
то для дискриминанта уравнения получаем неравенство 
В этом случае уравнение не имеет корней.
то:
являются числа 4 и 6, в этом случае 
и 