PDF-версии: 
Квадратное уравнение 
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.
а) Найдите все возможные значения p, если q = 5.
б) Могут ли одновременно выполняться неравенства p < 10 и q > 30?
в) Найдите наименьшее значение p при q > 30.
Решение. Пусть x1 и x2 — натуральные корни уравнения, и 
Тогда по теореме Виета 
а 
а) Если q = 5, то 
Число 5 является простым, поэтому единственный возможный вариант корней 
Тогда получаем единственное возможное значение: 
б) Предположим, что неравенства p < 10 и q > 30 могут выполняться одновременно. Тогда, учитывая натуральность p и q, получаем, что 
а дискриминант уравнения
Следовательно, уравнение не имеет корней, что противоречит условию. Значит, предположение неверно, а неравенства p < 10 и q > 30 не могут выполняться одновременно.
в) Если q > 30, то, учитывая натуральность, заключаем, что 
Уравнение имеет два корня, следовательно, дискриминант уравнения положителен. Тогда:
Таким образом, 
Наименьшее натуральное значение p, удовлетворяющее полученному неравенству, равно 12.
Приведем пример, подтверждающий достижимость найденного наименьшего значения. Если 
то 
Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня. 
и 
и 
причём 
Тогда 
и 
Поскольку 
− простое
и 
тогда 
то 
и 
откуда получаем: 
и 
Следовательно, 
Заметим, что равенство 
может достигаться только при 
но в таком случае уравнение 
не имеет целых корней. Уравнение 
имеет корни 1 и 18, и для него 
Значит, наибольшее значение 
равно 37. 
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня. 
и 
причём 
Тогда 
и 
Поскольку 
получаем: 
тогда p = 14.
то для дискриминанта уравнения получаем неравенство 
В этом случае уравнение не имеет корней.
то:
являются числа 4 и 6, в этом случае 
и 