Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решим задачу графо-аналитическим способом. Изобразим решение неравенств данной системы в системе координат xOy. Для этого при 
построим графики 
и 
Первый график — парабола 
и второй — прямая 
разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены зелёным) неравенство выполняется.
Графиком уравнения 
является пучок прямых 
проходящих через точку с координатами 
Исходная система имеет единственное решение, если прямая 
имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях.
1. Если прямая проходит через точку 
(выделено оранжевым). Тогда 
2. Если прямая касается параболы (выделено красным). Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение 
должно иметь единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант:
Дискриминант обращается в нуль при 
или 
При 
абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При абсцисса точки касания 
Таким образом, исходная система:
— при 
не имеет решений;
— при имеет одно решение;
— при 
имеет бесконечное число решений;
— при 
имеет одно решение;
— при 
имеет бесконечное число решений.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решим задачу графо-аналитическим способом. Изобразим решение неравенств данной системы в системе координат xOy. Для этого при построим графики и Первый график — парабола и второй — прямая разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены зелёным) неравенство выполняется.
Графиком уравнения является пучок прямых проходящих через точку с координатами
Исходная система имеет единственное решение, если прямая имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях.
1. Если прямая проходит через точку (выделено оранжевым). Тогда
2. Если прямая касается параболы (выделено красным). Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение должно иметь единственное решение. Запишем его в виде и найдем дискриминант:
Дискриминант обращается в нуль при или При абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При абсцисса точки касания
Таким образом, исходная система:
— при не имеет решений;
— при имеет одно решение;
— при имеет бесконечное число решений;
— при имеет одно решение;
— при имеет бесконечное число решений.
Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение необходимо, чтобы исходная система имела одно или более решений. Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решим задачу графо-аналитическим способом. Изобразим решение неравенств данной системы в системе координат xOy. Для этого при построим графики и Первый график — парабола и второй — прямая разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены зелёным) неравенство выполняется.
Графиком уравнения является пучок прямых проходящих через точку с координатами
Исходная система имеет единственное решение, если прямая имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях.
1. Если прямая проходит через точку (выделено оранжевым). Тогда
2. Если прямая касается параболы (выделено красным). Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение должно иметь единственное решение. Запишем его в виде и найдем дискриминант:
Дискриминант обращается в нуль при или При абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При абсцисса точки касания
Таким образом, исходная система:
— при не имеет решений;
— при имеет одно решение;
— при имеет бесконечное число решений;
— при имеет одно решение;
— при имеет бесконечное число решений.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх