а)  На­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов за каж­дую, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 15, а

б)  По­сколь­ку сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 15, сред­ний балл по обеим кон­троль­ным ра­бо­там тоже равен 15. Всего было на­пи­са­но 28 + 2  =  30 кон­троль­ных работ. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно При этом сумма наи­выс­ших бал­лов равна 13 · 28  =  364. Сле­до­ва­тель­но, сумма наи­мень­ших бал­лов, на­бран­ных двумя сту­ден­та­ми, пи­сав­ши­ми обе ра­бо­ты, равна 450 − 364  =  86. Но сумма наи­мень­ших бал­лов двух сту­ден­тов не может пре­вос­хо­дить 40. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Пусть k  — ко­ли­че­ство сту­ден­тов, пи­сав­ших обе кон­троль­ные ра­бо­ты, a  — сумма бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, c  — сумма наи­мень­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты.

Тогда сумма всех на­бран­ных бал­лов: сумма наи­выс­ших бал­лов Тогда С дру­гой сто­ро­ны, по­это­му от­ку­да

При­ведём при­мер, когда то есть если На­при­мер, 11 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты на 20  бал­лов, один сту­дент на­пи­сал обе кон­троль­ные, по­лу­чив за первую 20  бал­лов, а за вто­рую 16  бал­лов, 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную, при­чем 3 из них на­пи­са­ли ее на 20  бал­лов, а 5 из них  — на 0  бал­лов, и 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную, каж­дый на 8  бал­лов. Тогда обе кон­троль­ные пи­са­ли по 20  сту­ден­тов, на­брав за первую 3 · 20 + 12 · 20  =  300 бал­лов и за вто­рую 8 · 8 + 11 · 20 + 16  =  300 бал­лов.

Ответ: а)  на­при­мер, если 20 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов, а по 4 сту­ден­та на­пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов; б)  нет; в)  12.

а)  На­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов за каж­дую, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 15, а

б)  Пусть а  — сумма бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, с  — сумма наи­мень­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты. За­ме­тим, что сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 15, по­это­му сред­ний балл по обеим кон­троль­ным также равен 15. Всего было на­пи­са­но 28 + k кон­троль­ных работ. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно Тогда по­лу­ча­ем: от­ку­да С дру­гой сто­ро­ны, от­ку­да по­лу­ча­ем Зна­чит, такая си­ту­а­ция не­воз­мож­на.

в)  Ана­ло­гич­но преды­ду­щем пунк­ту по­лу­ча­ем: от­ку­да

При­ведём при­мер, когда Если (то есть 10 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 20 бал­лов за каж­дую), а (на­при­мер, каж­дую кон­троль­ную ра­бо­ту пи­са­ли по 9 сту­ден­тов, из ко­то­рых чет­ве­ро по­лу­чи­ли по 10 бал­лов, а пя­те­ро  — по 9 бал­лов), то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и

Ответ: а)  на­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов, а 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов; б)  нет; в)  

а)  На­при­мер, если 28 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 15 бал­лов за каж­дую, 2 сту­ден­та пи­са­ли первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 2 сту­ден­та пи­са­ли вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 14, а

б)  Пусть a  — сумма бал­лов всех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, c  — сумма наи­мень­ших бал­лов тех сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты. По­сколь­ку сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 14, сред­ний балл по обеим кон­троль­ным ра­бо­там тоже равен 14. Всего было на­пи­са­но 34 кон­троль­ные ра­бо­ты. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно Тогда по­лу­ча­ем: от­ку­да Но сумма наи­мень­ших бал­лов двух сту­ден­тов не может пре­вос­хо­дить 40. Зна­чит, такая си­ту­а­ция не­воз­мож­на.

в)  Пусть k  — ко­ли­че­ство сту­ден­тов, пи­сав­ших обе кон­троль­ные ра­бо­ты. Тогда по­лу­ча­ем:

от­ку­да С дру­гой сто­ро­ны, по­это­му

При­ведём при­мер, когда Если (на­при­мер, 16 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 20 бал­лов за каж­дую), а (на­при­мер, по 8 сту­ден­тов пи­са­ли каж­дую из кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 2 балла), то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны.

Ответ: а) на­при­мер, если 28 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные и по­лу­чи­ли по 15 бал­лов за каж­дую, по 2 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов за каж­дую; б) нет; в) 16.