Пусть банк на­чис­ля­ет r про­цен­тов, то есть умно­жа­ет оста­ток долга на Тогда пер­вые три пла­те­жа со­став­ля­ли мил­ли­о­нов руб­лей. Пусть далее чет­вер­тый и пятый пла­те­жи со­став­ля­ли N мил­ли­о­нов руб­лей. Тогда от­ку­да По усло­вию, общие вы­пла­ты со­ста­вят 6,1 млн руб., от­ку­да имеем:

Тогда

Ответ: 10.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Дата	Долг до вы­пла­ты,	Вы­пла­та,	Долг после вы­пла­ты,
01.07.2016	4200
01.01.2017
01.02.2017		42r
01.07.2017			4200
01.01.2018
01.02.2018		42r
01.07.2018			4200
01.01.2019
01.02.2019		42r
01.07.2019			4200
01.01.2020
01.02.2020		x
01.07.2020
01.01.2021
01.02.2022		x	0

1)  

2)   от­ку­да

Рас­че­ты будем вести в тыс. руб.

1.  По­сколь­ку в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг кли­ен­та будет равен сумме взя­то­го кре­ди­та, то в те­че­ние пер­вых трех из пяти лет кли­ент будет вы­пла­чи­вать кре­ди­то­ру лишь про­цент­ные на­чис­ле­ния за пер­вые три года. Общая сумма вы­пла­чен­ных де­неж­ных средств со­ста­вит (тыс. руб.) Сле­до­ва­тель­но, за по­след­ние два рас­чет­ных года кли­ент вы­пла­тит кре­ди­то­ру тыс. руб. А это зна­чит, что суммы вы­плат 2020 года и ана­ло­гич­ная сумма 2021 года со­ста­вят по (тыс. руб.) каж­дая.

2.  По усло­вию за­да­чи к ян­ва­рю 2020 года долг кли­ен­та со­ста­вит 4200 тыс. руб. В ян­ва­ре 2020 г этот долг воз­рас­тет до (тыс. руб.).

С фев­ра­ля по июнь кли­ент вы­пла­тит кре­ди­то­ру сумму тыс. руб. Долг к июлю 2020 г. со­ста­вит (тыс. руб.)

3.  К ян­ва­рю 2021 года долг кли­ен­та со­ста­вит тыс. руб. В ян­ва­ре 2020 г. этот долг воз­рас­тет до

С фев­ра­ля по июнь кли­ент вы­пла­тит кре­ди­то­ру сумму тыс. руб. Долг будет по­га­шен пол­но­стью. Сле­до­ва­тель­но,

Вто­рой ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи.

Ответ: 10.

Пусть, банк на­чис­ля­ет r про­цен­тов, то есть умно­жа­ет оста­ток долга на Обо­зна­чим это вы­ра­же­ние за x. Тогда пер­вые три пла­те­жа со­став­ля­ли мил­ли­о­нов руб­лей.

Пусть чет­вер­тый и пятый пла­те­жи со­став­ля­ли N мил­ли­о­нов руб­лей. Тогда от­ку­да

По усло­вию Решим это урав­не­ние:

Тогда банк на­чис­лял 20% го­до­вых.

Ответ: 20.

Пусть банк на­чис­ля­ет r про­цен­тов, то есть умно­жа­ет оста­ток долга на Тогда пер­вые три пла­те­жа со­став­ля­ли тысяч руб­лей. Пусть, далее, чет­вер­тый и пятый пла­те­жи со­став­ля­ли N тысяч руб­лей. Тогда от­ку­да По усло­вию, общие вы­пла­ты со­ста­ви­ли 915 тыс. руб., от­ку­да имеем:

Тогда

Ответ: 10.

Пусть а вы­пла­ты с фев­ра­ля по июнь в 2030 и 2031 годах со­став­ля­ют по x тыс. руб. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг перед бан­ком не ме­ня­ет­ся, а еже­год­ные вы­пла­ты со­став­ля­ют по 220(k − 1) тыс. руб.

В ян­ва­ре 2030 года долг (в тыс. руб­лей) равен 220k, а в июле  — 220k − x. В ян­ва­ре 2031 года долг равен а в июле − По усло­вию, к июлю 2031 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью, зна­чит, от­ку­да

Таким об­ра­зом, общий раз­мер вы­плат со­став­ля­ет

от­ку­да Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния на­хо­дим k  =  1,2, тогда r  =  20.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Обо­зна­чим сумму кре­ди­та за вы­пла­ту в пер­вые три года за a, а вы­пла­ту в по­след­ние два года за Тогда, если то   — так вы­гля­дит вы­пла­та в каж­дый из пер­вых трех годов. Усло­вие вы­пла­ты кре­ди­та двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми в по­след­ние два года да­ет­ся фор­му­лой Тогда

По усло­вию, сумма всех вы­плат со­став­ля­ет Под­став­ляя вы­ра­же­ния a и b, вы­ра­жен­ные через k, по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Под­ста­вим имеем:

от­ку­да по­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние: В силу тео­ре­мы Виета, сумма кор­ней по­лу­чен­но­го урав­не­ния равна а их про­из­ве­де­ние равно Не­труд­но по­до­брать числа (см. ком­мен­та­рий ниже), удо­вле­тво­ря­ю­щие этим ра­вен­ствам: это числа и По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, най­ден­ные числа яв­ля­ют­ся кор­ня­ми этого квад­рат­но­го урав­не­ния. От­ри­ца­тель­ный ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи. Тем самым от­ку­да

Ком­мен­та­рий. Ис­хо­дя из про­из­ве­де­ния, ра­зум­но ис­кать корни в виде и где Кроме того, из суммы кор­ней на­хо­дим, что Те­перь под­би­ра­ем удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме целые числа:

Ответ: 20.

Пусть а вы­пла­ты с фев­ра­ля по июль в 2029 и 2030 годах со­став­ля­ют по x тыс. руб. В ав­гу­сте 2026, 2027 и 2028 годов долг перед бан­ком не ме­ня­ет­ся, а еже­год­ные вы­пла­ты в эти годы со­став­ля­ют по 210(k − 1) тыс. руб.

В ян­ва­ре 2029 года долг (в тыс. руб.) равен 210k, а в июле  — 210k − x. В ян­ва­ре 2030 года долг равен а в ав­гу­сте  — По усло­вию, к ав­гу­сте 2030 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью, зна­чит, от­ку­да Таким об­ра­зом, общий раз­мер вы­плат со­став­ля­ет

от­ку­да Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния на­хо­дим k  =  1,1, тогда r  =  10.

Ответ: 10.