Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равны 13 и 19. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции.

Даны три век­то­ра и Най­ди­те длину век­то­ра

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит тре­уголь­ник ABC. Точки K, M и P  — се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC и AC со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SKMP, если объем пи­ра­ми­ды SABC равен 32.

В стоп­ке лежат школь­ные тет­ра­ди в оди­на­ко­вых зелёных об­лож­ках. Две из них в косую ли­ней­ку, во­семь в обыч­ную ли­ней­ку, шесть в круп­ную клет­ку и де­вять в обыч­ную клет­ку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что взя­тая слу­чай­ным об­ра­зом из этой стоп­ки тет­радь ока­жет­ся в косую ли­ней­ку.

Линия под­свет­ки со­сто­ит из 4 ламп. Каж­дая лампа ра­бо­та­ет не­за­ви­си­мо от дру­гих, и ве­ро­ят­ность её пе­ре­го­ра­ния в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года пер­вая и тре­тья лампы пе­ре­го­рят, а вто­рая и четвёртая не пе­ре­го­рят.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции   — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (–⁠15; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

На верфи ин­же­не­ры про­ек­ти­ру­ют новый ап­па­рат для по­гру­же­ния на не­боль­шие глу­би­ны. Кон­струк­ция имеет форму сферы, дей­ству­ю­щая на нее вы­тал­ки­ва­ю­щая (ар­хи­ме­до­ва) сила, вы­ра­жа­е­мая в нью­то­нах, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле F_А  =  αρgr³, где α  =  3,1  — по­сто­ян­ная, r  — ра­ди­ус сферы в мет­рах, ρ  =  1000 кг/м³  — плот­ность воды, а g  =  10 Н/кг  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния. Най­ди­те наи­боль­шую длину ра­ди­у­са сферы (в мет­рах), при ко­то­рой вы­тал­ки­ва­ю­щая сила при по­гру­же­нии не пре­вос­хо­дит 837 000 Н.

На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки A.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [8; 21].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ через вер­ши­ны A₁, B₁ и се­ре­ди­ну ребра BC про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью α будет тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α, если бо­ко­вое ребро приз­мы равно 11, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 16.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 6 ме­ся­цев в раз­ме­ре 1 млн руб­лей.

Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% (r  — целое число) по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат по кре­ди­ту будет мень­ше 1,4 млн руб­лей.

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол C тупой. Точка P лежит вне тре­уголь­ни­ка ABC. BP и CP  — пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам AB и AC со­от­вет­ствен­но, при­чем CP пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB. Вы­со­та CH тре­уголь­ни­ка ACP пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AB в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что ост­рые углы ABC и ACH равны.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны AC, если AK  =  10, BK  =  30.

Най­ди­те все зна­че­ния p, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Юра и По­ли­на иг­ра­ют в числа. Юра при­ду­мы­ва­ет два дву­знач­ных на­ту­раль­ных числа, одно из ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся се­мер­кой, и, за­пи­сав их про­из­воль­ным об­ра­зом друг за дру­гом, со­став­ля­ет четырёхзнач­ное число. По­ли­на делит по­лу­чен­ное Юрой четырёхзнач­ное число на оба при­ду­ман­ных им числа.

а)  Может ли у По­ли­ны по­лу­чить­ся число 3?

б)  Может ли у По­ли­ны по­лу­чить­ся число 17,5?

в)  Какое наи­боль­шее число может по­лу­чить­ся у По­ли­ны?