PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 19. Найдите среднюю линию трапеции.
Даны три вектора 
и 
Найдите длину вектора 
В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC. Точки K, M и P — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Найдите объем пирамиды SKMP, если объем пирамиды SABC равен 32.
В стопке лежат школьные тетради в одинаковых зелёных обложках. Две из них в косую линейку, восемь в обычную линейку, шесть в крупную клетку и девять в обычную клетку. Найдите вероятность того, что взятая случайным образом из этой стопки тетрадь окажется в косую линейку.
Линия подсветки состоит из 4 ламп. Каждая лампа работает независимо от других, и вероятность её перегорания в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года первая и третья лампы перегорят, а вторая и четвёртая не перегорят.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график 
—
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, действующая на нее выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле FА = αρgr3, где α = 3,1 — постоянная, r — радиус сферы в метрах, ρ = 1000 кг/м3 — плотность воды, а g = 10 Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину радиуса сферы (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит 837 000 Н.
На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке [8; 21].
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 через вершины A1, B1 и середину ребра BC проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α будет трапеция.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если боковое ребро призмы равно 11, а сторона основания равна 16.
Решите неравенство 
15 января планируется взять кредит на 6 месяцев в размере 1 млн рублей.
Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% (r — целое число) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Дата (в млн рублей) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат по кредиту будет меньше 1,4 млн рублей.
В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно, причем CP пересекает сторону AB. Высота CH треугольника ACP пересекает отрезок AB в точке K.
а) Докажите, что острые углы ABC и ACH равны.
б) Найдите длину стороны AC, если AK = 10, BK = 30.
Найдите все значения p, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых оканчивается семеркой, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.
а) Может ли у Полины получиться число 3?
б) Может ли у Полины получиться число 17,5?
в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?
Следовательно, площадь треугольника KMP в 4 раза меньше площади треугольника ABC. Получаем:
непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке 
то функция возрастает (убывает) на отрезке 
соответствуют промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам 
и 
Наибольший из них — отрезок 
длина которого равна 7.
при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:
деталей. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей, отсюда получаем:
Следовательно, 
откуда 
и 
Таким образом, 
Из рисунка видно, что 
Следовательно, 
откуда 
и 
Таким образом, 
заданная функция имеем максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Высота равнобокой трапеции, проведенная к большему основанию, делит его на два отрезка: длина меньшего равна полуразности длин оснований, а длина большего — полусумме длин оснований. Следовательно, 
По теореме Пифагора для треугольников MAA1 и MHA1 соответственно получаем:
и 
откуда 
Преобразуем неравенство при этом ограничении:
тогда получаем:
В соответствии с этим обозначением и условием задачи заполним таблицу.
Таким образом, ежемесячно остаток долга возрастал на 15%.
а потому
а вместе с ним и вся левая часть уравнения, принимает значения, не меньшие 1. Косинус принимает значения, не большие 1. Следовательно, для существования корней у исходного уравнения необходимо, чтобы существовал хотя бы один корень уравнения
и 
то
то
Если мальчик запишет их в порядке убывания, то Полина получит 
Наибольшее число, которое может получиться у Полины, 