Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 512671
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 в сте­пе­ни x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1.

Най­дем огра­ни­че­ния на x:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0 , новая стро­ка x не равно 1 , новая стро­ка \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0 , новая стро­ка x не равно 1 , новая стро­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 боль­ше 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0 , новая стро­ка x не равно 1 , новая стро­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 7 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0 , новая стро­ка x не равно 1 , новая стро­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _47 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x боль­ше \log _47.

Таким об­ра­зом, в даль­ней­шем мы будем рас­смат­ри­вать за­дан­ное не­ра­вен­ство толь­ко на мно­же­стве M= левая круг­лая скоб­ка \log _47; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Так как \log _47 боль­ше 1, то:

\log _x левая круг­лая скоб­ка \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно x рав­но­силь­но \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно \log _22 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 мень­ше или равно 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 2 мень­ше или равно 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _23 рав­но­силь­но x мень­ше или равно \log _23.

Ясно, что \log _47 боль­ше 1, но убе­дим­ся, что \log _47 мень­ше \log _23.

\log _47 мень­ше \log _23 рав­но­силь­но \log _47 мень­ше \log _49 рав­но­силь­но 7 мень­ше 9

(не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Таким об­ра­зом, ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми х яв­ля­ют­ся эле­мен­ты мно­же­ства левая круг­лая скоб­ка \log _47;\log _23 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка \log _47;\log _23 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ре­ше­ние 2.

Оче­вид­но x > 1, иначе внут­рен­ний ло­га­рифм не опре­де­лен. Тогда

0 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 4 в сте­пе­ни x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно x, 1 мень­ше 4 в сте­пе­ни x минус 6\leqslant2 в сте­пе­ни x

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned 7 мень­ше 4 в сте­пе­ни x , новая стро­ка 4 в сте­пе­ни x минус 2 в сте­пе­ни x минус 6\leqslant0 \endaligned.

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 7 мень­ше x, новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0 \endaligned.

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 7 мень­ше x мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 (все кор­рект­но, так как ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 9 боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 7).

 

Ответ: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 7 мень­ше x мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025