а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  6, а бо­ко­вое ребро AA₁  =  8. На реб­рах AB и BC от­ме­че­ны точки P и Q со­от­вет­ствен­но так, что AP  =  2, CQ  =  2. Плос­кость α про­хо­дит через пря­мую PQ па­рал­лель­но диа­го­на­ли приз­мы BD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны D.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на сумму 1,5 мил­ли­о­на руб­лей на 10 лет (до июля 2036 года). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  в ян­ва­ре каж­до­го года долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в не­чет­ные годы по­га­ше­ния (2027, 2029, 2031, 2033, 2035) долг дол­жен умень­шать­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну X по срав­не­нию с преды­ду­щим годом;

—  в чет­ные годы по­га­ше­ния (2028, 2030, 2032, 2034, 2036) долг дол­жен умень­шать­ся на одну и ту же ве­ли­чи­ну Y по срав­не­нию с преды­ду­щим годом;

—  из­вест­но, что X в два раза боль­ше Y;

—  к июлю 2036 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 2,3 млн руб.

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на ме­ди­а­на AM. На про­дол­же­нии ме­ди­а­ны AM за точку M от­ло­же­на точка D так, что AM  =  MD.

На от­рез­ке CD взята точка P так, что CP : PD  =  1 : 2. Пря­мая BP пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке E, а пря­мую AD  — в точке O. Пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что AK : KB  =  3 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KOE, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 160.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно три раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня.

По кругу рас­ста­ви­ли N по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Из­вест­но, что сумма любых трех под­ряд иду­щих чисел де­лит­ся на 5, а сумма любых че­ты­рех под­ряд иду­щих чисел де­лит­ся на 7.

а)  Может ли N быть рав­ным 2026?

б)  Может ли N быть рав­ным 10, если из­вест­но, что ни одно из чисел не пре­вос­хо­дит 100?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех рас­став­лен­ных чисел, если N  =  10?