Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 697990
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 8 левая круг­лая скоб­ка синус в сте­пе­ни 6 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 6 x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 4x плюс 5.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­ка­жем, что синус в сте­пе­ни 6 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 6 x = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­си­нус 4x плюс 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Ис­поль­зу­ем фор­му­лу суммы кубов:

синус в сте­пе­ни 6 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 6 x = левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка синус в сте­пе­ни 4 x минус синус в квад­ра­те x ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 4 x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 синус в квад­ра­те x ко­си­нус в квад­ра­те x = 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби синус в квад­ра­те 2x = 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 4x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­си­нус 4x плюс 5, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Под­ста­вим най­ден­ное вы­ра­же­ние в левую часть урав­не­ния, по­лу­чим:

3 ко­си­нус 4x плюс 5 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 4x плюс 5 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 4x = синус 4x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но тан­генс 4x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 4x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 8 мень­ше или равно 1 плюс 3k мень­ше или равно 18 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 7 мень­ше или равно 3k мень­ше или равно 17 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k = 3, k = 4, k = 5. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют корни дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 535
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на тан­генс или ко­тан­генс
Методы алгебры: Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026