PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 2 различных решения.
Решение. Первое уравнение системы задает на плоскости семейство квадратов со стороной 2 и центром
Из рисунка видно, что квадрат при «скольжении» вдоль оси Ox слева направо не имеет общих точек с полуокружностью до тех пор, пока не пройдет через 
При 
квадрат имеет одну общую точку с полуокружностью — этот случай обозначен фиолетовым, а при 
—
квадрат и полуокружность имеют одну, две или три точки пересечения.
Две точки пересечения квадрат и полуокружность имеют, только если одна из сторон квадрата является касательной к ней — этот случай обозначен красным. Рассмотрим верхнюю левую сторону квадрата. Ее уравнение 
точка касания находится от начала координат на расстоянии, равном радиусу полуокружности, то есть 2. По формуле расстояния между точкой и прямой получаем:
Полуокружность зеркально симметрична относительно оси ординат, ее центр совпадает с началом координат, поэтому недостающее значение параметра, удовлетворяющее задаче, можно получить изменением знака уже полученного на противоположный.
Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
является решением системы, то пара чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы 
С учётом второго уравнения системы получаем, что единственным решением может являться либо пара чисел 
либо пара чисел 
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
и 
тогда левая часть первого уравнения системы неотрицательна, а правая неположительна, причём равенство достигается только при 
и 
Значит, при 
система имеет единственное решение.
является решением системы при 
Подставляя найденное значение параметра, находим:
Значит, при 
система имеет более одного решения.
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет единственное решение.
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет единственное решение.
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет единственное решение.
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
