PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 2 различных решения.
Решение. Первое уравнение системы задает на плоскости семейство квадратов со стороной 2 и центром
Из рисунка видно, что квадрат при «скольжении» вдоль оси Ox слева направо не имеет общих точек с полуокружностью до тех пор, пока не пройдет через 
При 
квадрат имеет одну общую точку с полуокружностью — этот случай обозначен фиолетовым, а при 
—
квадрат и полуокружность имеют одну, две или три точки пересечения.
Две точки пересечения квадрат и полуокружность имеют, только если одна из сторон квадрата является касательной к ней — этот случай обозначен красным. Рассмотрим верхнюю левую сторону квадрата. Ее уравнение 
точка касания находится от начала координат на расстоянии, равном радиусу полуокружности, то есть 2. По формуле расстояния между точкой и прямой получаем:
Полуокружность зеркально симметрична относительно оси ординат, ее центр совпадает с началом координат, поэтому недостающее значение параметра, удовлетворяющее задаче, можно получить изменением знака уже полученного на противоположный.
Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
является решением системы, то пара чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы 
С учётом второго уравнения системы получаем, что единственным решением может являться либо пара чисел 
либо пара чисел 
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
и 
тогда левая часть первого уравнения системы неотрицательна, а правая неположительна, причём равенство достигается только при 
и 
Значит, при 
система имеет единственное решение.
является решением системы при 
Подставляя найденное значение параметра, находим:
Значит, при 
система имеет более одного решения.
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет единственное решение.
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет единственное решение.
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет единственное решение.
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
а потому
значения 
не определены, а корень 
Этот случай подходит.
Этот случай не подходит.
уравнение два различных положительных корня 
и 
и два отрицательных. Корни 
и 
совпадают друг с другом при 
Этот случай не подходит.
уравнение имеет отрицательный корень 
а потому
значения 
не определены, а корень 
Этот случай подходит.
Этот случай не подходит.
уравнение имеет два положительных корня 
и два отрицательных. Для того, чтобы уравнение имело ровно два решения, необходимо, чтобы были равны два отрицательных и два положительных корня соответственно. Корни 
и 
При этом значении параметра отрицательные корни 
и 
также совпадают. Следовательно, при 
уравнение имеет два решения: 
Этот случай подходит.
уравнение имеет положительный корень 
что больше –2. Этот случай не подходит.
ветви которой лежат в 1 и 3 четвертях, и окружность 
с центром в точке с координатами 
и радиусом 1. Найдем точку пересечения вертикальной прямой и гиперболы: 
то есть 
Найдем точку пересечения вертикальной прямой и окружности: 
то есть 
откуда 
Изобразим получившиеся множества.
горизонтальная прямая проходит через точку пересечения гиперболы и вертикальной прямой; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; прямая 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы и вертикальную прямую. Случай единственного решения обозначен на рисунке красным, случаи двух решений — синим, случаи трех решений — зеленым, случаи четырех решений — фиолетовым.
и/или 
и/или исключением 
и возможно включением значений 
ветви которой лежат в 1 и 3 четвертях, и окружность 
то есть 
то есть 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при 
и/или 
имеет ровно два различных корня.
имеет ровно два различных корня.
имеет более двух корней.
рассмотрим функцию 
Раскрывая модуль, получаем:
функция 
убывает, принимая все значения из промежутка 
Чтобы изучить поведение функции при положительных значениях переменной, найдем производную:
меняя знак с плюса на минус. Следовательно, эта точка является точкой максимума, причем 
Построим эскиз графика функции (см. рис.). Из графика заключаем, что уравнение имеет три корня при 
