Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  По­сколь­ку

До­ка­жем, что ко­рень для чего до­ста­точ­но до­ка­зать не­ра­вен­ство

В ходе до­ка­за­тель­ства мы будем поль­зо­вать­ся сле­ду­ю­щи­ми из­вест­ны­ми фак­та­ми:

1)  

2)  Для любых двух раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных чисел их про­из­ве­де­ние мень­ше квад­ра­та по­лу­сум­мы этих же чисел

Из по­лу­чен­но­го ясно: от­ку­да:

И при этом будет вы­пол­не­но не­ра­вен­ство: А это зна­чит, что

Ответ: а) б) 1.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим осе­вое се­че­ние ком­би­на­ции за­дан­ных тел (см. рис.).

а)  Пусть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 2а, вы­со­та  — 2r. Тогда: пол­ная по­верх­ность ко­ну­са

Ясно, что 2r  — это диа­метр шара.

Вы­ра­зим за­ви­си­мость r и a.

По­верх­ность шара

Итак, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Часть ко­ну­са, ко­то­рая лежит внут­ри шара (объем этого тела обо­зна­чим V₁)пред­став­ля­ет собой объ­еди­не­ние:

дру­го­го рав­но­сто­рон­не­го ко­ну­са, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся ΔMBN (его объем обо­зна­чим V_k1, вы­со­ту  — h_k1);

ша­ро­во­го сег­мен­та MDN (объем обо­зна­чим V_σ), вы­со­та h_σ ко­то­ро­го равна

Оче­вид­но,

Часть шара, ле­жа­щая вне ко­ну­са (объем обо­зна­чим V₂), есть до­пол­не­ние толь­ко что рас­смот­рен­но­го гео­мет­ри­че­ско­го тела до по­стро­ен­но­го шара (объем обо­зна­чим V_ш).

Ответ:

Ре­ше­ние. Зна­че­ние при любом Сле­до­ва­тель­но,

До­ка­жем не­ра­вен­ство

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пре­жде решим вспо­мо­га­тель­ную за­да­чу.

За­да­ча: если в про­из­воль­ном тре­уголь­ни­ке ABC D  — точка ка­са­ния сто­ро­ны AB и окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник, то верно ра­вен­ство: (См. рис. 1) .

До­ка­за­тель­ство. Пусть F, E  — точки ка­са­ния сто­рон АС и BC со­от­вет­ствен­но, Обо­зна­чим BD  =  BE  =  x, AD  =  AF  =  t, CE  =  CF  =  y. Имеем:

Мы по­лу­чи­ли:

В со­от­вет­ствии с до­ка­зан­ным выше в ос­нов­ной за­да­че будем иметь (см. рис. 2):

В ΔCBE в ΔABE Но

Так как AB  =  BC (это по усло­вию), то: что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  AC  =  AE + CE  =  9 + 15  =  24. Если AB  =  BC  =  x, то p(ABC)  =  x + 12, по фор­му­ле Ге­ро­на:

это с одной сто­ро­ны.

С дру­гой же сто­ро­ны, Зна­чит,

Пусть D  — се­ре­ди­на АС. Тогда: BD ⊥ AC, BD  =  2S(ABC) : AC  =  216 : 24  =  9. DE  =  AD − AE  =  3.

В пря­мо­уголь­ном ΔBDE

Если r₁  — ра­ди­ус окруж­но­сти ω₁, то

Если r₂  — ра­ди­ус окруж­но­сти ω₂, то:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. По усло­вию за­да­чи из­вест­но, что в ре­зуль­та­те не­сколь­ких пе­ре­ли­ва­ний дегтя в мёд, смеси дегтя с мёдом в де­готь и т. д. ко­ли­че­ства ве­ществ, со­дер­жа­щих­ся в обеих бан­ках (те­перь уже сме­сей) оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми.

От­сю­да и вывод: в ре­зуль­та­те про­цес­сов пе­ре­ме­ши­ва­ния дёгтя с медом из вто­рой банки в первую пе­ре­шло столь­ко же дегтя, сколь­ко мёда из пер­вой банки  — во вто­рую банку.

Ответ: По­ров­ну.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ную си­сте­му так:

Пусть x ≥ 0, y ≥ 0 (пер­вая чет­верть ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти). Тогда пер­вое урав­не­ние по­след­ней си­сте­мы при­мет вид:

Если ана­ло­гич­ным об­ра­зом «прой­дем» по осталь­ным ко­ор­ди­нат­ным чет­вер­тям плос­ко­сти, то об­на­ру­жим, что пер­вое урав­не­ние за­дан­ной си­сте­мы за­да­ет ромб, у ко­то­ро­го точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей сов­па­дет с на­ча­лом ко­ор­ди­нат, сами диа­го­на­ли дли­ной 6 и 8 лежат на осях ко­ор­ди­нат (см. рис.).

Также за­ме­тим, что вто­рое урав­не­ние ис­ход­ной си­сте­мы за­да­ет се­мей­ство па­ра­бол с вер­ши­ной в точке (0; a), а ветви ко­то­рых на­прав­ле­ны вверх.

Наша даль­ней­шая за­да­ча за­клю­ча­ет­ся в том, чтобы по­до­брать такие зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых па­ра­бо­ла пе­ре­сек­ла бы ромб ровно в че­ты­рех точ­ках.

Воз­мож­ны сле­ду­ю­щие слу­чаи:

1)  При a  =  −9

То есть па­ра­бо­ла пе­ре­се­чет ромб в точке (3; 0) или (−3; 0). Од­на­ко, зна­че­ние a  =  −9 не под­хо­дит, по­сколь­ку точек пе­ре­се­че­ния всего две (на рис. это  — гра­фик функ­ции h(x)).

2)  При a  =  −4: −4  =  0² + a, па­ра­бо­ла прой­дет через точку (0; −4). Кроме того, па­ра­бо­ла пе­ре­се­чет ромб еще в 4 точ­ках (на рис. это  — гра­фик функ­ции q(x)).

3)  При a ∈ (−9; −4) па­ра­бо­ла пе­ре­се­ка­ет ромб ровно в че­ты­рех точ­ках, как и тре­бу­ет­ся усло­ви­ем за­да­чи.

4)  При па­ра­бо­ла кос­нет­ся пря­мой (или пря­мой так как для

Ана­ло­гич­но для Такая си­ту­а­ция будет в тре­тьей и чет­вер­той чет­вер­тях. Кроме того, па­ра­бо­ла пе­ре­се­чет ромб еще в 2 точ­ках (пер­вая и вто­рая чет­вер­ти), на рис. это  — гра­фик функ­ции f(x).

Дру­гих под­хо­дя­щих зна­че­ний па­ра­мет­ра а не будет.

Итак, ис­ход­ная си­сте­ма будет иметь ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Для того чтобы раз­ность была наи­боль­шей, не­об­хо­ди­мо, чтобы одно из чисел было мак­си­маль­но воз­мож­ным, а дру­гое - ми­ни­маль­но воз­мож­ным. Это числа 98765 и 10234.

б)  По­про­бу­ем в ка­че­стве раз­но­сти пя­ти­знач­ных по­лу­чить трёхзнач­ное число.

Чтобы при вы­чи­та­нии два стар­ших раз­ря­да пре­вра­ти­лись в ноль, надо:

--- на пер­вое место по­ме­стить две цифры, от­ли­ча­ю­щи­е­ся на еди­ни­цу;

--- на вто­рое место умень­ша­е­мо­го по­ста­вить ноль, вы­чи­та­е­мо­го 9;

Чтобы по­лу­чив­ше­е­ся трёхзнач­ное число было ми­ни­маль­ным из воз­мож­ных:

--- на тре­тье место по­ста­вим цифры 1 и 8, т. к. 11 - 8 = 3 (ми­ни­мум)

--- на четвёртое место по­ста­вим цифры 2 и 7, 12 - 7 = 5

--- на пятое место по­ста­вим цифры 3 и 6, 13 - 6 = 7

Остав­ши­е­ся цифры 5 и 4 раз­ме­стим в ка­че­стве глав­ных раз­ря­дов. Итог таков:

50123 и 49876.

в)  Обо­зна­чим числа как и Оче­вид­но, что в каж­дом из них цифры идут в по­ряд­ке убы­ва­ния. Иначе, если в каком-то числе это не так, то в нем можно две цифры по­ме­нять ме­ста­ми так, что новое число будет боль­ше, а зна­чит, и про­из­ве­де­ние уве­ли­чит­ся.

Пусть на -ой спра­ва по­зи­ции в стоит цифра a, в цифра c , на n-ой по­зи­ции, со­от­вет­ствен­но, b и d . Если (или ) , то про­из­ве­де­ние не мак­си­маль­но.

Дей­стви­тель­но, если то по­ме­няв ме­ста­ми и b , по­лу­чим числа и Про­из­ве­де­ние при этом уве­ли­чит­ся:

Зна­чит, если про­из­ве­де­ние мак­си­маль­но, то:

1)  в каж­дом из двух чисел цифры идут в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во;

2)  в каж­дом раз­ря­де цифры у этих двух чисел от­ли­ча­ют­ся на 1.

Стало быть, на пер­вом месте у этих чисел стоят 8 и 9, на вто­ром – 7 и 6 и т. д. Пусть у на пер­вом месте 9. Не­за­ви­си­мо от того, в каком из чисел стоит каж­дая цифра из пары, сумма чисел остаётся одной и той же, рав­ной

.

Тогда и про­из­ве­де­ние мак­си­маль­но, если ми­ни­маль­но. Так как а то мак­си­маль­ное зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при

Ответ: а) 98765 и 10234; б) 50123 и 49876; в) 96420 и 87531.