СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 512471

Используя каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по одному разу, составьте такие два пятизначных числа, чтобы

а) их разность была наибольшей;

б) их разность была по модулю наименьшей;

в) их произведение было наибольшим.

Решение.

а) Для того чтобы разность была наибольшей, необходимо, чтобы одно из чисел было максимально возможным, а другое - минимально возможным. Это числа 98765 и 10234.

 

б) Попробуем в качестве разности пятизначных получить трёхзначное число.

Чтобы при вычитании два старших разряда превратились в ноль, надо:

--- на первое место поместить две цифры, отличающиеся на единицу;

--- на второе место уменьшаемого поставить ноль, вычитаемого 9;

Чтобы получившееся трёхзначное число было минимальным из возможных:

--- на третье место поставим цифры 1 и 8, т.к. 11 - 8 = 3 (минимум)

--- на четвёртое место поставим цифры 2 и 7, 12 - 7 = 5

--- на пятое место поставим цифры 3 и 6, 13 - 6 = 7

Оставшиеся цифры 5 и 4 разместим в качестве главных разрядов. Итог таков:

50123 и 49876.

 

в) Обозначим числа как и Очевидно, что в каждом из них цифры идут в порядке убывания. Иначе, если в каком-то числе это не так, то в нем можно две цифры поменять местами так, что новое число будет больше, а значит, и произведение увеличится.

Пусть на -ой справа позиции в стоит цифра , в цифра , на -ой позиции, соответственно, и . Если (или ) , то произведение не максимально.

Действительно, если , то поменяв местами и , получим числа и Произведение при этом увеличится:

Значит, если произведение максимально, то:

1) в каждом из двух чисел цифры идут в порядке убывания слева направо;

2) в каждом разряде цифры у этих двух чисел отличаются на 1.

Стало быть, на первом месте у этих чисел стоят 8 и 9, на втором – 7 и 6 и т.д. Пусть у на первом месте 9. Независимо от того, в каком из чисел стоит каждая цифра из пары, сумма чисел остаётся одной и той же, равной

.

Тогда и произведение максимально, если минимально. Так как , а , то максимальное значение достигается при ,

 

Ответ: а) 98765 и 10234; б) 50123 и 49876; в) 96420 и 87531.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства