Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку левая часть ис­ход­но­го урав­не­ния не­от­ри­ца­тель­на при всех Тогда:

б)   Отбор кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, D  — се­ре­ди­на ребра АB, E  — се­ре­ди­на SO, ∠FDC  =  α, ∠FCD = β. Тогда

Ребро SC  — на­клон­ная к плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, SO  — пер­пен­ди­ку­ляр, CO  — про­ек­ция на­клон­ной, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  В плос­ко­сти (DSC), ко­то­рая со­дер­жит вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO, через точку E про­ве­дем пря­мую, пе­ре­се­ка­ю­щую ребро SC в точке F. Со­еди­ним эту точку с вер­ши­на­ми Aи B пи­ра­ми­ды. Δ AFB  — се­че­ние, упо­мя­ну­тое в усло­вии за­да­чи.

В

В Зна­чит,

В

Ответ: б)

Ре­ше­ние. По­лу­чим:

Пусть Тогда

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Итак, или Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной х.

Таким об­ра­зом,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим: центы окруж­но­стей точки ка­са­ния окруж­но­стей: общую точку AC и окр. Q, про­ек­цию точки P на AC  — Со­еди­ним цен­тры окруж­но­стей от­рез­ка­ми. Пусть ра­ди­ус окруж­но­стей равен

Рас­смот­рим тре­уголь­ник Он рав­но­сто­рон­ний, по­сколь­ку каж­дая его сто­ро­на равна Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка MNP яв­ля­ют­ся сред­ни­ми ли­ни­я­ми тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но, каж­дая его сто­ро­на будет равна r, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По­сколь­ку каж­дая за­дан­ная окруж­ность впи­са­на в один из углов рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC, их цен­тры лежат на со­от­вет­ству­ю­щих бис­сек­три­сах тре­уголь­ни­ка Сле­до­ва­тель­но, а это зна­чит, что

Оче­вид­но, что

это  — с одной сто­ро­ны.

Это  — с дру­гой сто­ро­ны. Зна­чит,

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим первую схему. Пусть х руб.  — фик­си­ро­ван­ная сумма еже­ме­сяч­ных вы­плат.

Ко­то­рый от­чет­ный месяц?	Долг к концу ме­ся­ца с уче­том на­чис­лен­ных про­цен­тов (руб.)	Ана­то­лий пе­ре­во­дит в банк (руб.)	Долг Ана­то­лия на на­ча­ло сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца (руб.)
Пер­вый		х
Вто­рой		х
Тре­тий		х

Те­перь рас­смот­рим вто­рую схему.

Ко­то­рый от­чет­ный месяц?	Ана­то­лий дол­жен пе­ре­ве­сти в банк
	Часть кре­ди­та по ос­нов­но­му долгу (руб.)	Про­цент­ные став­ки банка	Всего (руб.)
Пер­вый
Вто­рой
Тре­тий

Итак, если Ана­то­лий вос­поль­зу­ет­ся вто­рой схе­мой, то он в банк дол­жен будет вер­нуть сумму, рав­ную

А эта сумма мень­ше, чем 399 300, на 2100 руб.

За­ме­ча­ние:

Эту раз­ни­цу можно было бы вы­чис­лить и так:

1)  

2)  

3)  

4)  

Ответ: вы­год­на вто­рая схема; 2100 руб­лей.

Ре­ше­ние. Урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

По­лу­чен­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний в двух слу­ча­ях: урав­не­ние (1) не имеет ре­ше­ний или урав­не­ние (1) имеет ре­ше­ния, но они не удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству (2). Рас­смот­рим эти слу­чаи.

Квад­рат­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, если его дис­кри­ми­нант мень­ше нуля:

Най­дем зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­рых урав­не­ние имеет ре­ше­ния, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 1. Рас­смот­рим функ­цию не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но од­но­вре­мен­но­го вы­пол­не­ния не­ра­венств: и По­лу­ча­ем:

Объ­еди­няя най­ден­ные выше мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Ясно, что число 100! де­лит­ся на все на­ту­раль­ные числа от 1 до 100. Не­слож­но про­ве­рить, что число 101 яв­ля­ет­ся про­стым, по­это­му 100! на него не де­лит­ся (в раз­ло­же­нии 100! на про­стые мно­жи­те­ли нет про­стых мно­жи­те­лей, боль­ших ста).

б)  Раз­ло­жим число 100! на про­стые мно­жи­те­ли. Среди чисел от 1 до 100 ровно 20 (5,10,15,...) де­лит­ся на 5, и еще 4 (25,50,75,100) де­лят­ся на по­это­му число 5 будет вхо­дить в раз­ло­же­ние в два­дцать чет­вер­той сте­пе­ни. Ясно, что число 2 будет вхо­дить в раз­ло­же­ние 100! в сте­пе­ни, боль­шей, чем 24. По­это­му 100! де­лит­ся на и не де­лит­ся на

в)  Рас­смот­рим сна­ча­ла по­след­нюю цифру про­из­ве­де­ния всех чисел от 1 до 100, не крат­ных 5. Для этого по­счи­та­ем по­след­нюю цифру про­из­ве­де­ния Она равна 6. По­след­няя цифра про­из­ве­де­ния тоже будет 6. Сде­ла­ем, од­на­ко, хит­рость и число в про­из­ве­де­ние не вклю­чим. Тогда по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния будет равна 4. Ана­ло­гич­но, по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния всех чисел от 1 до 100, не крат­ных 5, ис­клю­чая число 64, будет равна 4, так как при умно­же­нии чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся на 6 и на 4, по­лу­ча­ет­ся число, за­кан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 4. Те­перь по­смот­рим на по­след­нюю не­ну­ле­вую цифру числа Она равна по­след­ней не­ну­ле­вой цифре про­из­ве­де­ния По­след­няя не­ну­ле­вая цифра та­ко­го про­из­ве­де­ния равна 1.

В итоге по­лу­ча­ем, что по­след­няя не­ну­ле­вая цифра числа 100! равна 4 (про­из­ве­де­ние чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 1 и 4, окан­чи­ва­ет­ся на 4).

Ответ: а) 101; б) 24; в) 4.