а)  Ясно, что число 100! де­лит­ся на все на­ту­раль­ные числа от 1 до 100. Не­слож­но про­ве­рить, что число 101 яв­ля­ет­ся про­стым, по­это­му 100! на него не де­лит­ся (в раз­ло­же­нии 100! на про­стые мно­жи­те­ли нет про­стых мно­жи­те­лей, боль­ших ста).

б)  Раз­ло­жим число 100! на про­стые мно­жи­те­ли. Среди чисел от 1 до 100 ровно 20 (5,10,15,...) де­лит­ся на 5, и еще 4 (25,50,75,100) де­лят­ся на по­это­му число 5 будет вхо­дить в раз­ло­же­ние в два­дцать чет­вер­той сте­пе­ни. Ясно, что число 2 будет вхо­дить в раз­ло­же­ние 100! в сте­пе­ни, боль­шей, чем 24. По­это­му 100! де­лит­ся на и не де­лит­ся на

в)  Рас­смот­рим сна­ча­ла по­след­нюю цифру про­из­ве­де­ния всех чисел от 1 до 100, не крат­ных 5. Для этого по­счи­та­ем по­след­нюю цифру про­из­ве­де­ния Она равна 6. По­след­няя цифра про­из­ве­де­ния тоже будет 6. Сде­ла­ем, од­на­ко, хит­рость и число в про­из­ве­де­ние не вклю­чим. Тогда по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния будет равна 4. Ана­ло­гич­но, по­след­няя цифра про­из­ве­де­ния всех чисел от 1 до 100, не крат­ных 5, ис­клю­чая число 64, будет равна 4, так как при умно­же­нии чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся на 6 и на 4, по­лу­ча­ет­ся число, за­кан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 4. Те­перь по­смот­рим на по­след­нюю не­ну­ле­вую цифру числа Она равна по­след­ней не­ну­ле­вой цифре про­из­ве­де­ния По­след­няя не­ну­ле­вая цифра та­ко­го про­из­ве­де­ния равна 1.

В итоге по­лу­ча­ем, что по­след­няя не­ну­ле­вая цифра числа 100! равна 4 (про­из­ве­де­ние чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 1 и 4, окан­чи­ва­ет­ся на 4).

Ответ: а) 101; б) 24; в) 4.