а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА₁В₁С₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 10, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно 9. На ребре СС₁ от­ме­че­на точка М, при­чем СМ  =  5.

а)  Точки О и О₁  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков АВС и А₁В₁С₁ со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пря­мая ОО₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка АВМ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А₁ до плос­ко­сти АВМ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Семен Мо­и­се­е­вич 6 марта 2025 года по­ло­жил на вклад в банке 1 000 000 руб­лей под 21% го­до­вых. Усло­вия этого вкла­да та­ко­вы:

—  в те­че­ние года за­пре­ща­ет­ся вы­пол­нять какие-либо опе­ра­ции с этим вкла­дом;

—  6 марта 2026 года банк уве­ли­чит вклад на 21%.

Моня Со­ло­мо­но­вич 6 марта 2025 года по­ло­жил на вклад в банке также 1 000 000 руб­лей под r% го­до­вых. Усло­вия этого вкла­да та­ко­вы:

—  в те­че­ние года за­пре­ща­ет­ся вы­пол­нять какие-либо опе­ра­ции с этим вкла­дом;

—  через каж­дые 3 ме­ся­ца (до 6 марта 2026 года) банк уве­ли­чи­ва­ет сумму, к тому мо­мен­ту на­хо­дя­щу­ю­ся на вкла­де, на Из­вест­но, что Моня Со­ло­мо­но­вич через год по­лу­чит со счета мень­ше, чем Семен Мо­и­се­е­вич. Най­ди­те наи­боль­шее целое зна­че­ние r.

В окруж­но­сти ра­ди­у­сом R про­ве­де­ны хорды KL и MN, пер­пен­ди­ку­ляр­ные друг другу и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что при этих усло­ви­ях вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти R, если KF  =  3, FM  =  8, FN  =  6.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

В циф­ро­вом хра­ни­ли­ще дан­ные раз­би­ты на не­сколь­ко оди­на­ко­вых по раз­ме­ру дис­ков, но сей­час на них за­ня­то раз­ное ко­ли­че­ство те­ра­байт. Си­сте­ма может за одну опе­ра­цию пе­ре­ме­стить любое ко­ли­че­ство дан­ных с од­но­го диска на дру­гой.

а)  Есть 4 диска, на ко­то­рых за­ня­то 70, 78, 76, 72 ТБ. За какое наи­мень­шее число опе­ра­ций пе­ре­ме­ще­ния дан­ных можно урав­нять объём за­ня­то­го про­стран­ства на всех дис­ках?

б)  Пред­по­ло­жим, дис­ков 10. Все­гда ли можно урав­нять за­ня­тое про­стран­ство на всех дис­ках не более чем за 6 опе­ра­ций?

в)  За какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство опе­ра­ций можно за­ве­до­мо урав­нять за­ня­тое про­стран­ство на 2026 дис­ках?