Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 695397
i

В окруж­но­сти ра­ди­у­сом R про­ве­де­ны хорды KL и MN, пер­пен­ди­ку­ляр­ные друг другу и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что при этих усло­ви­ях вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство KN в квад­ра­те плюс ML в квад­ра­те = 4R в квад­ра­те .

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти R, если KF  =  3, FM  =  8, FN  =  6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть точка E на окруж­но­сти такая, что пря­мая NE па­рал­лель­на пря­мой KL. Тогда че­ты­рех­уголь­ник KNEL  — впи­сан­ная тра­пе­ция, а по­то­му рав­но­бед­рен­ная: KN = LE. От­ре­зок FN  — вы­со­та тра­пе­ции, по­это­му \angle MNE = 90 гра­ду­сов. Хорда ME стя­ги­ва­ет дугу MLE, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся пря­мой угол, то есть хорда ME  — диа­метр. Сле­до­ва­тель­но, угол MLE  — пря­мой, а по­то­му

KN в квад­ра­те плюс ML в квад­ра­те = LE в квад­ра­те плюс ML в квад­ра­те = ME в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2R пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 4R в квад­ра­те .

б)  Про­из­ве­де­ния длин от­рез­ков пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд равны: KF умно­жить на FL = FM умно­жить на FN, от­ку­да

FL = дробь: чис­ли­тель: FM умно­жить на FN, зна­ме­на­тель: KF конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 умно­жить на 6, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = 16.

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков MFL и KFN со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

ML в квад­ра­те = FM в квад­ра­те плюс FL в квад­ра­те = 64 плюс 256 = 320,

KN в квад­ра­те = FN в квад­ра­те плюс KF в квад­ра­те = 36 плюс 9 = 45.

Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) на­хо­дим:

KN в квад­ра­те плюс ML в квад­ра­те = 4R в квад­ра­те рав­но­силь­но 4R в квад­ра­те = 320 плюс 45 рав­но­силь­но R в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 365, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но R = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 365 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 365 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 527
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}, Свой­ства хорд, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026