Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 695394
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfracx в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 4 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби боль­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем ОДЗ:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше 0, дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби не равно q 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 конец дроби боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те не равно q 1, дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2. конец си­сте­мы .

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство при этих огра­ни­че­ни­ях:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfracx в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 4 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfracx в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 4 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfracx в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 4 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно 0.

Пусть  t = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , тогда

 t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 1 мень­ше или равно t мень­ше 0, t боль­ше или равно 1. конец со­во­куп­но­сти .

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 1 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше или равно 1. конец со­во­куп­но­сти .

Решим пер­вое не­ра­вен­ство по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти. При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции: на ОДЗ знак вы­ра­же­ния  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния  левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­лу­ча­ем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 1 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 1 боль­ше или равно 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше или равно 0, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 1, x боль­ше 0, конец си­сте­мы . минус 2 мень­ше x мень­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но минус 2 мень­ше x мень­ше или равно минус 1.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти. При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции: на ОДЗ знак вы­ра­же­ния  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния  дробь: чис­ли­тель: g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 конец дроби . По­лу­ча­ем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше или равно 1, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 2 минус 3x, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше или равно 0, x не равно q минус 2, x не равно q 0, x не равно q 1, x не равно q 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем окон­ча­тель­ный ответ.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 527