Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА₁В₁С₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 8, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно 7. На ребре СС₁ от­ме­че­на точка М, при­чем СМ  =  1.

а)  Точки О и О₁  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков АВС и А₁В₁С₁ со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пря­мая ОО₁ со­дер­жит точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка АВМ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А₁ до плос­ко­сти АВМ.

а)  Пусть точка K  — се­ре­ди­на ребра AB, а точка Q  — такая точка на от­рез­ке MK, что Тогда точка Q  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABM, так как делит его ме­ди­а­ну MK в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Про­ек­ци­ей от­рез­ка MK на плос­кость ABC яв­ля­ет­ся от­ре­зок CK. Точка О яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и делит от­ре­зок CK в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны C, по­это­му точка Q будет про­ек­ти­ро­вать­ся в эту точку. Пря­мая OO₁ и плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, точка Q лежит на пря­мой OO₁.

б)  Пусть точка T  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁. Пря­мые A₁B₁ и AB па­рал­лель­ны, по­это­му пря­мая A₁B₁ и плос­кость ABM также па­рал­лель­ны. Рас­сто­я­ние от точки A₁ до плос­ко­сти ABM равно рас­сто­я­нию от точки T до плос­ко­сти ABM. Опу­стим из точки T пер­пен­ди­ку­ляр TS на пря­мую KM. До­ка­жем, что от­ре­зок TS  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Пря­мые TS и KM пер­пен­ди­ку­ляр­ны по по­стро­е­нию. Пря­мая TS лежит в плос­ко­сти KTC₁C, а по­сколь­ку пря­мые AB и KC пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пря­мые AB и CC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то пря­мая AB и плос­кость KTC₁C также пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой в плос­ко­сти KTC₁C, в част­но­сти, пря­мые TS и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Таким об­ра­зом, пря­мая TS пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым в плос­ко­сти ABM и по­то­му яв­ля­ет­ся пер­пен­ди­ку­ля­ром к плос­ко­сти.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник TKM, в ко­то­ром Вы­чис­лим:

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник TKM  — рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)