а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC, AB  =  24, вы­со­та SH, про­ведённая к ос­но­ва­нию, равна 14, точка K  — се­ре­ди­на AS, точка N  — се­ре­ди­на BC. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точку K и па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, пе­ре­се­ка­ет ребра SB и SC в точ­ках Q и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что PQ про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка SN.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью APQ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 900 тысяч руб­лей на 11 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 10-й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15-го числа 10-го ме­ся­ца долг со­ста­вит 200 тысяч руб­лей;

—  к 15-му числу 11-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1021 ты­ся­чу руб­лей.

В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­ден диа­метр MN, от­ме­че­ны точка K  — се­ре­ди­на дуги МN, точка А  — се­ре­ди­на хорды МK и точка В  — се­ре­ди­на дуги KN.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  На от­рез­ке АВ как на сто­ро­не по­стро­ен пря­мо­уголь­ник АВСD так, что его вер­ши­на С лежит на окруж­но­сти. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка АВСD, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

Алек­сандр за­ду­мал на­ту­раль­ное число a и по­счи­тал сумму его цифр, эту сумму он обо­зна­чил b. Затем он по­счи­тал сумму цифр числа b и обо­зна­чил ее через c. Ока­за­лось, что среди чисел a, b и c нет оди­на­ко­вых.

а)  Может ли

б)  Может ли

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет че­ты­рех­знач­ных чисел a, для ко­то­рых