Ре­ше­ние. а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но, если то есть при где Пе­рей­дем к след­ствию, умно­жив обе части урав­не­ния на

С уче­том ОДЗ по­лу­ча­ем:

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку от­бе­рем при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа 

Ответ: а)  б) 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние.

а)  Плос­кость ASB пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные плос­ко­сти KQP и ABC по па­рал­лель­ным пря­мым, по­это­му пря­мые KQ и AB па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но па­рал­лель­ны пря­мые KP и AC. Зна­чит, точка Q  — се­ре­ди­на ребра BS, точка P  — се­ре­ди­на ребра CS. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка делит по­по­лам любой от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну тре­уголь­ни­ка с точ­кой на ос­но­ва­нии, па­рал­лель­ном этой сред­ней линии, а по­то­му делит по­по­лам и от­ре­зок SN.

б)  Пусть пря­мые SN и PQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке R. Тогда пря­мая AR пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PQ, пря­мая AN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, а пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей ABC и APQ па­рал­лель­на пря­мым BC и PQ. Зна­чит, угол RAN равен ис­ко­мо­му углу между плос­ко­стя­ми. Из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем:

а из тре­уголь­ни­ка SHN по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

по­это­му Сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ANR:

Ана­ло­гич­но на­хо­дим:

от­ку­да

Ответ: б) 

При­ве­дем ре­ше­ние Ольги Ро­ман­ко.

Пусть пря­мые SN и PQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке R. Тогда пря­мая AR пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PQ, пря­мая AN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, а пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей ABC и APQ па­рал­лель­на пря­мым BC и PQ. Зна­чит, угол RAN равен ис­ко­мо­му углу между плос­ко­стя­ми. Про­ве­дем через точку R пря­мую па­рал­лель­но пря­мой SH. Пусть точка T  — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с от­рез­ком AN. В тре­уголь­ни­ке SHN от­ре­зок RT  — сред­няя линия, тогда

Предо­став­ля­ем чи­та­те­лю воз­мож­ность са­мо­сто­я­тель­но убе­дить­ся, что от­ве­ты, по­лу­чен­ные раз­ны­ми спо­со­ба­ми, со­от­вет­ству­ют од­но­му и тому же углу.

Ре­ше­ние.

Ответ: