В окружности с центром О проведен диаметр MN, отмечены точка K — середина дуги МN, точка А — середина хорды МK и точка В — середина дуги KN.
а) Докажите, что 
б) На отрезке АВ как на стороне построен прямоугольник АВСD так, что его вершина С лежит на окружности. Найдите площадь прямоугольника АВСD, если радиус окружности 
а) Угол MOK — центральный угол, который опирается на дугу, равную четверти окружности, поэтому 
Треугольник MOK — равнобедренный, поэтому медиана OA также является высотой и биссектрисой: 
Аналогично 
откуда 
Пусть 
тогда из равнобедренных прямоугольных треугольников MAO и KAO находим 
По теореме Пифагора для треугольника AOB получаем:
Вычислим искомое отношение:
б) Продлим прямую AB до пересечения с окружностью в точке P. Тогда отрезок PC — диаметр, а угол PBC — прямой. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны, то есть
По теореме Пифагора для треугольника PBC получаем:
Из условия 
следовательно, площадь прямоугольника равна:
Ответ: 