Ре­ше­ние. А)  

Б)  Длина за­дан­но­го от­рез­ка равна 6. По­сколь­ку ис­ко­мых кор­ней не будет более 2.

По­ка­жем, что числа вида и (корни урав­не­ния, по­лу­ча­е­мые при и при ) при­над­ле­жат за­дан­но­му от­рез­ку.

Дей­стви­тель­но,    (не­ра­вен­ство оче­вид­ное);

      (не­ра­вен­ство также оче­вид­ное).

Ответ: А) Б)

Ре­ше­ние. А)  Пусть М  — се­ре­ди­на ребра АВ, О  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

По­стро­им по­сле­до­ва­тель­но:

1.  От­рез­ки BD, CM, пусть K  — их общая точка.

2.  

3.  От­рез­ки

До­ка­жем, что

  — по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти двух плос­ко­стей.

В Зна­чит, K  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан Сле­до­ва­тель­но,

В тогда по тео­ре­ме о про­пор­ци­о­наль­ных от­рез­ках по обоб­щен­ной тео­ре­ме Фа­ле­са) : что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Также за­ме­тим: в ~

Б)  В где

Из ска­зан­но­го в п. А) также сле­ду­ет:

В где

Ответ: Б)

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на х:   

На мно­же­стве до­пу­сти­мых зна­че­ний х:

По­след­нее не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов

Итак, Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной х.

С уче­том огра­ни­че­ний на х ис­ко­мое ре­ше­ние

Ответ:

Ре­ше­ние. Ре­ше­ние 1. Про­ве­дем окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии за­да­чи. В со­отвтет­ствии со свой­ством се­ку­щей и хорды имеем: Так как по усло­вию то от­ку­да что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Б)  В где

В

Те­перь не­труд­но найти и ра­ди­ус R окруж­но­си, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АМВ, ко­то­рый сов­па­дет с ра­ди­у­сом окруж­но­сти, опи­сан­ной около че­ты­рех­уголь­ни­ка АВМК.

Ответ: Б)

Ре­ше­ние 2.

а)  За­ме­тим, что то есть ABMK  — впи­сан­ная тра­пе­ция. Зна­чит, она рав­но­бед­рен­ная, то есть Тогда и

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что тогда

Тогда и

Ин­те­ре­су­ю­щая нас окруж­ность опи­са­на около тре­уголь­ни­ка KBM. По уси­лен­ной тео­ре­ме си­ну­сов ее ра­ди­ус равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть x кг  — масса яблок 1-го сорта, y кг  — масса яблок 2-⁠го сорта, остав­ши­е­ся 91 − (x + у) кг  — масса яблок 3-⁠го сорта. Для ве­ли­чи­ны вы­руч­ки имеем:

от­ку­да (*).

По­сколь­ку масса яблок 1-⁠го сорта мень­ше массы яблок 2-⁠го сорта на столь­ко же про­цен­тов, на сколь­ко про­цен­тов масса яблок 2-⁠го сорта мень­ше массы яблок 3-⁠го сорта имеем:

Под­ста­вим усло­вие (*) в по­лу­чен­ную про­пор­цию и решим ее:

Таким об­ра­зом, са­до­вод про­дал 7 кг яблок пер­во­го сорта и, сле­до­ва­тель­но, 35 − 14 = 21 кг яблок вто­ро­го сорта.

Ответ: 21.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть x кг  — масса яблок пер­во­го сорта, про­дан­ных са­до­во­дом, а масса яблок вто­ро­го сорта со­став­ля­ет tx кг. Тогда масса про­дан­ных яблок тре­тье­го сорта со­ста­вит tx · t  =  t²x кг. По усло­вию за­да­чи:

По­де­лив почлен­но ра­вен­ство (2) на ра­вен­ство (1), по­лу­чим:

Зна­че­ние не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи. Зна­че­ние x най­дем из урав­не­ния

Ответ: 21 кг.

Ре­ше­ние. Пер­вое усло­вие за­да­чи за­да­ет в плос­ко­сти (xy) окруж­ность с цен­тром в точке (a; 2a − 2). Опре­де­лим­ся, где будут рас­по­ла­гать­ся цен­тры этих окруж­но­стей. По­сколь­ку 2a − 2 будет за­ви­сеть от па­ра­мет­ра a ли­ней­но, оче­вид­но, они (цен­тры) будут рас­по­ло­же­ны на не­ко­то­рой пря­мой. Най­дем ее урав­не­ние. Оно (урав­не­ние) будет иметь вид y  =  kx + b. Вы­чис­лим зна­че­ния k и b. Если a  =  0, то 2a − 2  =  ka + b, т. е. −2  =  b; если же, к при­ме­ру, a  =  5, то 10 − 2  =  5k + b. Те­перь решим си­сте­му:

Таким об­ра­зом, цен­тры окруж­но­стей, за­да­ва­е­мых пер­вым усло­ви­ем за­да­чи при­над­ле­жат пря­мой y  =  2x − 2 (*)

Гра­фик урав­не­ния y  =  |x| (это  — объ­еди­не­ние бис­сек­трис пер­во­го и вто­ро­го ко­ор­ди­нат­ных углов) делит плос­кость на две об­ла­сти. Не­ра­вен­ству y ≥ |x| будут удо­вле­тво­рять толь­ко те точки плос­ко­сти, ко­то­рые при­над­ле­жат все точки, при­над­ле­жа­щие ло­ма­ной y  =  |x| и об­ласть, ко­то­рой при­над­ле­жит точка (0; 1).

Каж­дое сла­га­е­мое левой части урав­не­ния не­от­ри­ца­тель­но. Тогда долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие:

Сле­до­ва­тель­но, при 1 < a < 4 си­сте­ма ре­ше­ний не имеет.

Ис­сле­ду­ем при­год­ность зна­че­ний а, рав­ных 1 или 4. При этих зна­че­ни­ях а окруж­ность вы­рож­да­ет­ся в точку, так как a² − 5a + 4  =  0.

Если то Это ра­вен­ство вы­пол­ни­мо толь­ко при од­но­вре­мен­ном вы­пол­не­нии двух усло­вий: x  =  1 и y  =  0. Но при этом не­ра­вен­ство y ≥ |x| не вы­пол­ня­ет­ся.

Если a  =  4, то

По­сколь­ку пара (4; 6) удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству y≥ |x|, a  =  4  — одно из ис­ко­мых зна­че­ний па­ра­мет­ра. Не­ра­вен­ство y ≥ |x| не до­пус­ка­ет от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний пе­ре­мен­ной у, зна­чит, ин­те­ре­су­ю­щие нас пары (x; у)  — точки (x; у) плос­ко­сти не могут на­хо­дить­ся ниже ло­ма­ной y  =  |x|. Но они не могут на­хо­дить­ся и выше ло­ма­ной y  =  |x|, в про­тив­ном слу­чае по­лу­чим бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы. Таким об­ра­зом, в даль­ней­шем нас будут ин­те­ре­со­вать толь­ко лишь пары (x; у), удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию x  =  у. В то же время нас будут ин­те­ре­со­вать толь­ко лишь ка­са­ние за­дан­ной окруж­но­сти с ло­ма­ной y  =  |x|. Ясно, что цен­тры окруж­но­стей при этом будет рас­по­ло­же­ны ниже рас­смат­ри­ва­е­мой ло­ма­ной. Рас­смот­рим слу­чай, когда x  =  у  =  0. (При этом центр окруж­но­сти будут иметь ко­ор­ди­на­ты 0 и −2 со­от­вет­ствен­но). В этом слу­чае, как не­труд­но за­ме­тить, окруж­ность и ло­ма­ная будут иметь лишь одну общую точку. По­лу­чим:

Таким об­ра­зом, зна­че­ние a  =  0 есть ис­ко­мое. Можно удо­сто­ве­рить­ся, что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ис­сле­ду­ем пер­вое усло­вие си­сте­мы при y  =  x, x≥ 0.

Мы по­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но x − a. По­тре­бу­ем, чтоб его чет­верть дис­кри­ми­нан­та была равна нулю.

Итак, мы по­лу­чи­ли два зна­че­ния па­ра­мет­ра а. Но это  — всего лишь не­об­хо­ди­мое усло­вие един­ствен­но­сти ре­ше­ния сме­шан­ной си­сте­мы. Про­ве­рим их при­год­ность. Най­дем ко­ор­ди­на­ты цен­тра со­от­вет­ству­ю­щей окруж­но­сти при :

Ока­за­лось, что ор­ди­на­та цен­тра со­от­вет­ству­ю­щей окруж­но­сти выше пра­во­го звена ло­ма­ной, что не­воз­мож­но. Вывод: зна­че­ние не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

При :

Ор­ди­на­та цен­тра окруж­но­сти ниже пра­во­го звена ло­ма­ной. Зна­че­ние есть ис­ко­мое. Рас­смот­ре­ние слу­ча­ев при x < 0 смыс­ла не имеет. Дело в том, что по­сколь­ку наи­мень­шее рас­сто­я­ние от любой точки пря­мой y  =  2x − 2, на ко­то­рой лежат цен­тры со­от­вет­ству­ю­щих окруж­но­стей, до на­ча­ла ко­ор­ди­нат будет ми­ни­маль­ным. При уве­ли­че­нии этого рас­сто­я­ния окруж­ность будет пе­ре­се­кать как левое, так и пра­вое зве­нья ло­ма­ной, един­ствен­но­сти ре­ше­ния си­сте­мы не будет.

Таким об­ра­зом, пред­ло­жен­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть ис­ко­мые числа равны а и b, при­чем

а)  По­лу­ча­ем ра­вен­ство: За­ме­тим, что раз­ло­жить 625 на два на­ту­раль­ных мно­жи­те­ля так, что один из них мень­ше 25, можно толь­ко двумя спо­со­ба­ми: Зна­чит, a=600, b=24, или а=100, b=20.

б)  Ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем ра­вен­ство: Зна­чит, a=b=50 или a=150,b=30 или а=650, b=26.

в)  Ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем ра­вен­ство: Зна­чит, a=b=25 или а=75,b=15 или a=325,b=13.

Ответ: а)600 и 24 или 100 и 20. б)50 и 50 или 150 и 30 или 650 и 26. в)25 и 25 или 75 и 15 или 325 и 13.