ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 511919 Добавить в вариант

Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта  — по 30 руб., третьего сорта  — по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2-⁠го сорта меньше массы яблок 3-⁠го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-⁠го сорта меньше массы яблок 2-⁠го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?

Спрятать решение

Решение.

Пусть x кг  — масса яблок 1-го сорта, y кг  — масса яблок 2-⁠го сорта, оставшиеся 91 − (x + у) кг  — масса яблок 3-⁠го сорта. Для величины выручки имеем:

$40x плюс 30y плюс 20 умножить на левая круглая скобка 91 минус x минус y правая круглая скобка = 2170 равносильно 2x плюс y = 35,$

откуда $y=35 минус 2x$ (*).

Поскольку масса яблок 1-⁠го сорта меньше массы яблок 2-⁠го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 2-⁠го сорта меньше массы яблок 3-⁠го сорта имеем:

$дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: y, знаменатель: 91 минус левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка конец дроби .$

Подставим условие (*) в полученную пропорцию и решим ее:

$дробь: числитель: x, знаменатель: 35 минус 2x конец дроби = дробь: числитель: 35 минус 2x, знаменатель: x плюс 56 конец дроби \underset0 меньше x меньше 17,5\mathop равносильно x левая круглая скобка x плюс 56 правая круглая скобка = левая круглая скобка 35 минус 2x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 3x в квадрате минус 196x плюс 1225=0 равносильно совокупность выражений x=7,x= дробь: числитель: 175}3 конец совокупности . \undersetx меньше 17,5, знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x=7.$ $дробь: числитель: x, знаменатель: 35 минус 2x конец дроби = дробь: числитель: 35 минус 2x, знаменатель: x плюс 56 конец дроби \underset0 меньше x меньше 17,5\mathop равносильно$
$\underset0 меньше x меньше 17,5\mathop равносильно x левая круглая скобка x плюс 56 правая круглая скобка = левая круглая скобка 35 минус 2x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 3x в квадрате минус 196x плюс 1225=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=7,x= дробь: числитель: 175}3 конец совокупности . \undersetx меньше 17,5, знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x=7.$

Таким образом, садовод продал 7 кг яблок первого сорта и, следовательно, 35 − 14 = 21 кг яблок второго сорта.

Ответ: 21.

Приведём другое решение.

Пусть x кг  — масса яблок первого сорта, проданных садоводом, а масса яблок второго сорта составляет tx кг. Тогда масса проданных яблок третьего сорта составит tx · t  =  t²x кг. По условию задачи:

$t в квадрате x плюс tx плюс x=91 равносильно левая круглая скобка t в квадрате плюс t плюс 1 правая круглая скобка x=91 левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$20t в квадрате x плюс 30tx плюс 40x=2170 равносильно левая круглая скобка 2t в квадрате плюс 3t плюс 4 правая круглая скобка x=217 левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Поделив почленно равенство (2) на равенство (1), получим:

$дробь: числитель: 2t в квадрате плюс 3t плюс 4, знаменатель: t в квадрате плюс t плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 217, знаменатель: 91 конец дроби равносильно 2 плюс дробь: числитель: t плюс 2, знаменатель: t в квадрате плюс t плюс 1 конец дроби =2 плюс дробь: числитель: 35, знаменатель: 91 конец дроби равносильно дробь: числитель: t плюс 2, знаменатель: t в квадрате плюс t плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби равносильно$

$равносильно 5t в квадрате плюс 5t плюс 5 минус 13t минус 26=0 равносильно 5t в квадрате минус 8t минус 21=0 равносильно t= дробь: числитель: 4\pm корень из: начало аргумента: 16 плюс 105 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби равносильно t= дробь: числитель: 4\pm 11, знаменатель: 5 конец дроби равносильно$   $совокупность выражений новая строка t=3 , новая строка t= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби . конец совокупности .$

Значение $t= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби$ не подходит по смыслу задачи. Значение x найдем из уравнения $левая круглая скобка t в квадрате плюс t плюс 1 правая круглая скобка x=91.$

$x= дробь: числитель: 91, знаменатель: 9 плюс 3 плюс 1 конец дроби =7.tx=21.$

Ответ: 21 кг.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 119

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Андрей Чепурной 03.05.2021 21:35

Добрый день!

7 кг составляет 7,7% от 91 кг.

21 кг - 23,1% от 91 кг.

63 кг - 69,2% от 91 кг.

Разности масс в процентах не равны, что противоречит условию задачи. Приведенное решение в качестве условия берет не одинаковую разницу в процентах, а одинаковое соотношение масс яблок.

Татьяна Кравченко

Фраза «масса яблок второго сорта меньше массы яблок третьего сорта на сколько-то процентов» подразумевает, что за 100% берется масса яблок третьего сорта. Поэтому если яблок третьего сорта 63 кг и яблок второго сорта 21 кг, то масса яблок второго сорта меньше массы яблок третьего сорта на 66,(6)%. В Вашем рассуждении рассматриваются не проценты, а процентные пункты.