Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 511896

А) Представьте 1 в виде суммы трех попарно различных дробей вида  дробь, числитель — 1, знаменатель — n , где n — натуральное число.

Б) Представьте 1 в виде суммы пяти попарно различных дробей вида  дробь, числитель — 1, знаменатель — n , где n — натуральное число.

В) Докажите, что 1 можно представить в виде суммы любого (большего двух) количества попарно различных дробей вида  дробь, числитель — 1, знаменатель — n , где n — натуральное число.

Решение.

а) Несложно убедиться, что 1=1/2 плюс 1/3 плюс 1/6.

 

б) Умножим равенство из пункта а) на 1/6. Получим: 1/6=1/12 плюс 1/18 плюс 1/36. Значит, 1=1/2 плюс 1/3 плюс 1/12 плюс 1/18 плюс 1/36.

 

в) В виде суммы трех и пяти дробей единицу представить можно. Представим единицу в виде суммы четырех дробей: 1=1/2 плюс 1/4 плюс 1/6 плюс 1/12. Пусть мы представили единицу в виде суммы k дробей с числителем 1. Возьмем меньшую из этих дробей и представим ее в следующем виде: 1/d=1/(2d) плюс 1/(3d) плюс 1/(6d). Таким образом, получим представление единицы в виде суммы k+2 дробей нужного вида. Значит, из суммы четырех дробей можно получить сумму 6,8,10, ... дробей, а из суммы 5 дробей можно получить сумму 7,9,11,... дробей. Утверждение доказано.

 

Ответ: а) 1=1/2 плюс 1/3 плюс 1/6; б) 1=1/2 плюс 1/3 плюс 1/12 плюс 1/18 плюс 1/36.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 117.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства