СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 511896

А) Представьте 1 в виде суммы трех попарно различных дробей вида где n — натуральное число.

Б) Представьте 1 в виде суммы пяти попарно различных дробей вида где n — натуральное число.

В) Докажите, что 1 можно представить в виде суммы любого (большего двух) количества попарно различных дробей вида где n — натуральное число.

Решение.

а) Несложно убедиться, что

 

б) Умножим равенство из пункта а) на Получим: Значит,

 

в) В виде суммы трех и пяти дробей единицу представить можно. Представим единицу в виде суммы четырех дробей: Пусть мы представили единицу в виде суммы k дробей с числителем 1. Возьмем меньшую из этих дробей и представим ее в следующем виде: Таким образом, получим представление единицы в виде суммы k+2 дробей нужного вида. Значит, из суммы четырех дробей можно получить сумму 6,8,10, ... дробей, а из суммы 5 дробей можно получить сумму 7,9,11,... дробей. Утверждение доказано.

 

Ответ: а) ; б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства