Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 511892
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _x левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 мень­ше или равно \log _x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс \log _x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем огра­ни­че­ния на x.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0 , новая стро­ка x не равно 1 , новая стро­ка x не равно 3 . конец си­сте­мы .

За­дан­ное не­ра­вен­ство будем рас­смат­ри­вать толь­ко на мно­же­стве M= левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

\log _x левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 мень­ше или равно \log _x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс \log _x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 2\log _x левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: \log _x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби \log _x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2\log _x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть \log _x левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =u, \log _x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = v . Тогда:

2u плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: u, зна­ме­на­тель: v конец дроби минус 2 v мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2u v плюс v минус u минус 2 v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: v конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2u v минус 2 v в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка u минус v пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: v конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 v левая круг­лая скоб­ка u минус v пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка u минус v пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: v конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка u минус v пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 v минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: v конец дроби мень­ше или равно 0.

Те­перь пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной х и вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции.

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка \log _x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби минус \log _x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус \log _xx пра­вая круг­лая скоб­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 7x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 3x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби мень­ше или равно 0.

Най­дем корни квад­рат­но­го трех­чле­на x в квад­ра­те минус 7x плюс 7.

x в квад­ра­те минус 7x плюс 7=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 7\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 49 минус 28 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 7\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­ме­тим, что на M для лю­бо­го x: x плюс 1 боль­ше 0, x в квад­ра­те плюс 3x плюс 4 боль­ше 0 (для по­след­не­го D=9 минус 16 мень­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но,

левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

Решим по­след­нее не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов. Не­ра­вен­ства

дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 1, дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 3 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

оче­вид­ны. Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми ис­ход­но­го не­ра­вен­ства яв­ля­ют­ся эле­мен­ты мно­же­ства

левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: 7 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Ра­ци­о­на­ли­за­ция не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025