Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C3 № 511892

Решите неравенство {{\log }_{x}}{{(x минус 3)} в степени 4 } плюс 1 меньше или равно {{\log }_{x плюс 2}}{{(x минус 3)} в степени 2 } плюс {{\log }_{x}}{{(x плюс 2)} в степени 2 }.

Решение.

Найдем ограничения на x.

 система выражений  новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка x не равно 3 . конец системы .

Заданное неравенство будем рассматривать только на множестве M= левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup (1;3)\cup (3; плюс принадлежит fty ).

{{\log }_{x}}{{(x минус 3)} в степени 4 } плюс 1 меньше или равно {{\log }_{x плюс 2}}{{(x минус 3)} в степени 2 } плюс {{\log }_{x}}{{(x плюс 2)} в степени 2 } равносильно 2{{\log }_{x}}{{(x минус 3)} в степени 2 } плюс 1 меньше или равно дробь, числитель — {{\log }_{x}, знаменатель — {(x минус 3) в степени 2 }}{{{\log }_{x}}(x плюс 2)} плюс 2{{\log }_{x}}(x плюс 2).

Пусть {{\log }_{x}}{{(x минус 3)} в степени 2 }=u, {{\log }_{x}}(x плюс 2)=v. Тогда:

2u плюс 1 минус дробь, числитель — u, знаменатель — v минус 2v меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 2uv плюс v минус u минус 2{{v} в степени 2 }, знаменатель — v меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (2uv минус 2{{v} в степени 2 }) минус (u минус v), знаменатель — v меньше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь, числитель — 2v(u минус v) минус (u минус v), знаменатель — v меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (u минус v)(2v минус 1), знаменатель — v меньше или равно 0.

Теперь перейдем к переменной х и воспользуемся методом рационализации.

 дробь, числитель — ({{\log }_{x}, знаменатель — {(x минус 3) в степени 2 } минус {{\log }_{x}}(x плюс 2)) умножить на ({{\log }_{x}}{{(x плюс 2)} в степени 2 } минус {{\log }_{x}}x)}{{{\log }_{x}}(x плюс 2)} меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1) умножить на ({{(x минус 3)} в степени 2 } минус (x плюс 2)) умножить на (x минус 1)({{(x плюс 2)} в степени 2 } минус x), знаменатель — (x минус 1)(x плюс 2 минус 1) меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)({{x} в степени 2 } минус 6x плюс 9 минус x минус 2) умножить на ({{x} в степени 2 } плюс 4x плюс 4 минус x), знаменатель — x плюс 1 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1) умножить на ({{x} в степени 2 } минус 7x плюс 7) умножить на ({{x} в степени 2 } плюс 3x плюс 4), знаменатель — x плюс 1 меньше или равно 0.

Найдем корни квадратного трехчлена {{x} в степени 2 } минус 7x плюс 7.

{{x} в степени 2 } минус 7x плюс 7=0 равносильно x= дробь, числитель — 7\pm корень из { 49 минус 28}, знаменатель — 2 равносильно x= дробь, числитель — 7\pm корень из { 21}, знаменатель — 2 .

Заметим, что на M для любого x: x плюс 1 больше 0, {{x} в степени 2 } плюс 3x плюс 4 больше 0 (для последнего D=9 минус 16 меньше 0). Следовательно,

( минус 1) левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 7 минус корень из { 21}, знаменатель — 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 7 плюс корень из { 21}, знаменатель — 2 правая круглая скобка меньше или равно 0.

Решим последнее неравенство методом интервалов. Неравенства

 дробь, числитель — 7 минус корень из { 21}, знаменатель — 2 больше 1, дробь, числитель — 7 минус корень из { 21}, знаменатель — 2 меньше 3 меньше дробь, числитель — 7 плюс корень из { 21}, знаменатель — 2

очевидны. Таким образом, решениями исходного неравенства являются элементы множества

 левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 7 минус корень из { 21}, знаменатель — 2 ;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь, числитель — 7 плюс корень из { 21}, знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 7 минус корень из { 21}, знаменатель — 2 ;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь, числитель — 7 плюс корень из { 21}, знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 117.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с логарифмами по переменному основанию
Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств
Классификатор базовой части: 2.2.9 Метод интервалов