PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 511890 
Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
Дано уравнение 
А) Решите уравнение.
Б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку 
Решение. А) Найдем ограничения на x.
Для таких x:
С учетом того, что 
Б) Заметим, что отрезок 
охватывает первых три координатных четверти, причем первую и третью четверти частично.
При 
получим 
При 
получим 
При 
получим 
То есть число 
к числу искомых не относится. Дальнейшие поиски корней смысла не имеют.
Ответ: А) 
Б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: А) Б)
Б) 511890
А) Б)
Б) 
при этом 
— проекция 
на 
следовательно, 
Аналогично 
поэтому описанная в задаче плоскость — это плоскость 
Пусть она пересекает диагональ 
Поскольку 
имеем 
что и требовалось.
поэтому отношение объемов частей равно 
Тогда: 
(для последнего 
Следовательно,
Следовательно, 
бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили 
бассейна. Тогда время наполнения бассейна 
является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и 
ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна 
Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при 
Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению 
используя равносильность 
м3 бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили 
м3 бассейна. В результате бассейн был налит полностью.
(неравенство Коши).
А это значит: 
имеет наименьшее значение в точке 
(значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение 
также будет иметь аналогичное значение в той же точке 
При этом
А это значит, что в точке 
содержит промежуток 
При каждом таком а укажите множество значений функции 
не имеет корней, поэтому функция непрерывна. На бесконечностях функция стремится к нулю. Из этого следует, что множество значений функции 
тогда и только тогда, когда уравнения 
и 
будут иметь решения. Рассмотрим эти уравнения:
Для этого рассмотрим данное равенство как уравнение с переменной х и параметром 
множество значений: 
где n — натуральное число.
Получим: 
Значит, 
Пусть мы представили единицу в виде суммы k дробей с числителем 1. Возьмем меньшую из этих дробей и представим ее в следующем виде: 
Таким образом, получим представление единицы в виде суммы k+2 дробей нужного вида. Значит, из суммы четырех дробей можно получить сумму 6,8,10, ... дробей, а из суммы 5 дробей можно получить сумму 7,9,11,... дробей. Утверждение доказано.
б)