Ре­ше­ние. а)  Имеем:

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

б)  Вы­бор­ку кор­ней сде­ла­ем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. А)  Вос­поль­зу­ем­ся ко­ор­ди­нат­но-век­тор­ным ме­то­дом ис­сле­до­ва­ния. По­ме­стим приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек: Будем ис­кать урав­не­ние плос­ко­сти BKM.

Итак, урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид: или

Пусть N  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти BKM и пря­мой A₁B₁. Най­дем ее ко­ор­ди­на­ты.

Пря­мую A₁B₁ будет за­да­вать си­сте­ма

То есть

Под­ста­вив по­лу­чен­ные зна­че­ния x и z в урав­не­ние плос­ко­сти BKM, будем иметь:

Итак,

Б)  Се­че­ни­ем будет слу­жить че­ты­рех­уголь­ник BNMK, диа­го­на­ля­ми ко­то­ро­го будут век­то­ры

Пусть – угол между век­то­ра­ми и Тогда

Ответ: A) 2 : 5. Б)

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x си­сте­мы в целом.

Оче­вид­но, ра­вен­ство в пер­вом не­стро­гом не­ра­вен­стве будет вы­пол­не­но при или При и будем также иметь:   

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства пред­став­ля­ют­ся мно­же­ством

Те­перь рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

Решим по­след­нее не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку AKCM  — па­рал­ле­ло­грамм и KC ⊂ BC, AM ⊂ AD, BC || AD, KC  =  AM.

Из того, что AKCM  — па­рал­ле­ло­грамм также сле­ду­ет: AK = MC, ∠KAD = ∠CMD как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных AK, МС и се­ку­щей AD.

Угол AKB равен углу KAD как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных BC, AD и се­ку­щей AK, угол BAK равен DAK по усло­вию, зна­чит, угол BAK равен углу BKA, от­ку­да BK = AB.

Ана­ло­гич­но можно до­ка­зать рав­но­бед­рен­ность тре­уголь­ни­ка CDM, т. е. CD = MD.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки ABK и CDM. У них: ∠ KAD = ∠ CMD, AK = MC (эти ра­вен­ства по­ка­за­ны выше), сле­до­ва­тель­но, Δ ABK = Δ CDM. По вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков. От­сю­да сразу же сле­ду­ет, что BK = MD.

Таким об­ра­зом,

(ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма), что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)   Для удоб­ства вве­дем обо­зна­че­ния: пусть AB = a, AD = b, AC = d₁, BD = d₂, O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Ост­рый угол между АС и BD обо­зна­чим α, тупой  — β.

Рас­смот­рим Δ AOD и Δ AOB. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Вы­чи­та­ем почлен­но ра­вен­ство (**) из ра­вен­ства (*).

По­лу­ча­ем: от­ку­да

Но для пло­ща­ди лю­бо­го вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD (в том числе и па­рал­ле­ло­грам­ма) также спра­вед­ли­ва фор­му­ла

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть бра­тья пла­ни­ру­ют взять кре­дит в раз­ме­ре K у. е.

Рас­счи­та­ем кре­дит Саши.

Сумма долга по со­сто­я­нию на 01.04.2016 г. 1,2K у. е. Кли­ент пе­ре­во­дит в банк A у. е.

Долг на 01.04.2017 г. 1,2K − A у. е. Банк на­чис­ля­ет про­цен­ты. Долг ста­но­вит­ся 1,2²K − 1,2A у. е. Кли­ент пе­ре­во­дит в банк A у. е. Кре­дит будет по­га­шен.

Сле­до­ва­тель­но,

Саша за 2 года банку за­пла­тит у. е.

Кре­дит Паши.

Сумма долга по со­сто­я­нию на 01.04.2016 г. 1,1K у. е. Кли­ент пе­ре­во­дит в банк B у. е.

Долг на 01.04.2017 г. 1,1K − B у. е. Банк на­чис­ля­ет про­цен­ты. Долг ста­но­вит­ся 1,12K − 1,1B у. е. Кли­ент пе­ре­во­дит в банк B у. е. Долг ста­но­вит­ся 1,1²K − 1,1B − B у. е.

01.04.2018 г. банк на­чис­ля­ет про­цен­ты. Долг ста­но­вит­ся 1,1³K − 1,1²B − 1,1B у. е. Кли­ент пе­ре­во­дит в банк B у. е. Долг ста­но­вит­ся 1,1³K − 1,1²B − 1,1B − B у. е.

01.04.2019 г. банк на­чис­ля­ет про­цен­ты. Долг ста­но­вит­ся 1,1⁴KM − 1,1³B − 1,1²B − 1,1B у. е. Кли­ент пе­ре­во­дит в банк B у. е. Долг ста­но­вит­ся 1,1⁴K − 1,1³B − 1,1²B − 1,1B − B у. е.

01.04.2020 г. банк на­чис­ля­ет про­цен­ты.

Долг ста­но­вит­ся 1,1⁵K − 1,1⁴B − 1,1³B − 1,1²B − 1,1B у. е. Кли­ент пе­ре­во­дит в банк B у. е. Кре­дит будет по­га­шен.

Зна­чит,

Най­дем зна­че­ние зна­ме­на­те­ля как сумму пер­вых 5 чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с пер­вым чле­ном, рав­ным 1, зна­ме­на­те­лем 1,1.

Далее:

Паша за 5 лет банку за­пла­тит у. е.

Для удоб­ства в даль­ней­ших рас­че­тах K при­мем за 6,1051k. В таком слу­чае Саша в банк дол­жен за­пла­тить у. е., а Паша  — у. е.

Най­дем от­но­ше­ние

Ответ: Паша.

Ре­ше­ние. Если то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и имеет один ко­рень.

В осталь­ных слу­ча­ях пред­ста­вим гра­фик обеих ча­стей урав­не­ния.

Гра­фик пра­вой части  — пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой

Гра­фик функ­ции   — два луча с общим на­ча­лом в точке и уг­ло­вы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми

По­это­му гра­фик пра­вой части  — два луча (с на­ча­ла­ми в точ­ках и уг­ло­вы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми и два от­рез­ка, со­еди­ня­ю­щих те же точки с точ­кой

Из гра­фи­ка пра­вой части видно, что пря­мая, па­рал­лель­ная имеет с ним ровно три общих точки тогда и толь­ко тогда, когда про­хо­дит либо через либо через Оста­лось вы­яс­нить, при каких a это про­ис­хо­дит.

В пер­вом слу­чае от­ку­да (уже раз­би­ра­лось) либо (под­хо­дит).

Во вто­ром слу­чае от­ку­да (уже раз­би­ра­лось) либо (под­хо­дит).

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Здесь до­ста­точ­но при­ве­сти при­мер:

б)  Пусть вме­сто всех звез­до­чек стоят плюсы. Тогда сумма в левой части равна Для того, чтобы ра­вен­ство было вер­ным, надо по­ста­вить ми­ну­сы перед чис­ла­ми, да­ю­щи­ми в сумме Пятью или мень­шим ко­ли­че­ством ми­ну­сов обой­тись не удаст­ся, так как А вот шести ми­ну­сов хва­тит, если по­ста­вить их, на­при­мер, перед чис­ла­ми 10,15,16,17,18,19.

в)  С плю­са­ми по­сту­па­ем точно так же. Пяти плю­сов не хва­тит, так как А вот шести плю­сов до­ста­точ­но, если по­ста­вить их, на­при­мер, перед чис­ла­ми 9,15,16,17,18,19.

Ответ: а) 1+2+3-4+5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16-17+18-19=0. б) 6; в) 6.