Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C5 № 511865

1 апреля 2015 года близнецы Саша и Паша планируют взять в кредит одинаковые суммы денег на покупку автомобилей. Саша хочет оформить кредит в банке «Вампириал» под 20% годовых, а Паша — в банке «Хитер-Инвест» под 10% годовых. Схема выплаты кредита у каждого банка следующая: 1 апреля каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20% и 10% соответственно), затем клиент переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Кто из братьев должен будет в итоге заплатить своему банку больше денег, если известно, что Саша планирует выплатить долг двумя равными платежами, а Паша — пятью равными платежами.

Спрятать решение

Решение.

Пусть братья планируют взять кредит в размере K у. е.

 

Рассчитаем кредит Саши.

Сумма долга по состоянию на 01.04.2016 г. 1,2K у. е. Клиент переводит в банк A у. е.

Долг на 01.04.2017 г. 1,2K − A у. е. Банк начисляет проценты. Долг становится 1,22K − 1,2A у. е. Клиент переводит в банк A у. е. Кредит будет погашен.

Следовательно,

1,2 в квадрате K минус 1,2A минус A=0 равносильно 1,2 в квадрате K=2,2A равносильно A= дробь: числитель: 1,44K, знаменатель: 2,2 конец дроби = дробь: числитель: 144K, знаменатель: 220 конец дроби = дробь: числитель: 36K, знаменатель: 55 конец дроби .

Саша за 2 года банку заплатит  дробь: числитель: 72K, знаменатель: 55 конец дроби у. е.

 

Кредит Паши.

Сумма долга по состоянию на 01.04.2016 г. 1,1K у. е. Клиент переводит в банк B у. е.

Долг на 01.04.2017 г. 1,1KB у. е. Банк начисляет проценты. Долг становится 1,12K − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,12K − 1,1BB у. е.

01.04.2018 г. банк начисляет проценты. Долг становится 1,13K − 1,12B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,13K − 1,12B − 1,1BB у. е.

01.04.2019 г. банк начисляет проценты. Долг становится 1,14KM − 1,13B − 1,12B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Долг становится 1,14K − 1,13B − 1,12B − 1,1BB у. е.

01.04.2020 г. банк начисляет проценты.

Долг становится 1,15K − 1,14B − 1,13B − 1,12B − 1,1B у. е. Клиент переводит в банк B у. е. Кредит будет погашен.

Значит,

1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K минус 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка B минус 1,1 в кубе B минус 1,1 в квадрате B минус 1,1B минус B=0 равносильно 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка B плюс 1,1 в кубе B плюс 1,1 в квадрате B плюс 1,1B плюс B равносильно

 равносильно 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K= левая круглая скобка 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1,1 в кубе плюс 1,1 в квадрате плюс 1,1 плюс 1 правая круглая скобка умножить на B равносильно B= дробь: числитель: 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка K, знаменатель: 1,1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1,1 в кубе плюс 1,1 в квадрате плюс 1,1 плюс 1 конец дроби .

 

Найдем значение знаменателя как сумму первых 5 членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, знаменателем 1,1.

S_5= дробь: числитель: 1,1 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 1,1 минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 1,61051 минус 1, знаменатель: 0,1 конец дроби = дробь: числитель: 0,61051, знаменатель: 0,1 конец дроби =6,1051.

Далее: B= дробь: числитель: 1,61051K, знаменатель: 6,1051 конец дроби ;

Паша за 5 лет банку заплатит 5B= дробь: числитель: 5 умножить на 1,61051K, знаменатель: 6,1051 конец дроби у. е.

Для удобства в дальнейших расчетах K примем за 6,1051k. В таком случае Саша в банк должен заплатить  дробь: числитель: 72 умножить на 6,1051k, знаменатель: 55 конец дроби у. е., а Паша — 5 умножить на 1,61051k у. е.

Найдем отношение \eta =5 умножить на 1,61051k : дробь: числитель: 72 умножить на 6,1051k, знаменатель: 55 конец дроби .

\eta = дробь: числитель: 1,61051 умножить на 5 умножить на 55, знаменатель: 72 умножить на 6,1051 конец дроби больше дробь: числитель: 1,6 умножить на 25 умножить на 11, знаменатель: 72 умножить на 6,11 конец дроби = дробь: числитель: 1,6 умножить на 11 умножить на 100:4, знаменатель: 439,92 конец дроби = дробь: числитель: 440, знаменатель: 439,92 конец дроби больше 1.

 

Ответ: Паша.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: Разные задачи с прикладным содержанием