Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 511861

а) Решите уравнение  косинус 4x минус 6 косинус 2x косинус x минус 4 синус в квадрате x плюс 5=0.

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку  левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Имеем:

 косинус 4x минус 6 косинус 2x косинус x минус 4 синус в квадрате x плюс 5=0 равносильно  равносильно 1 плюс косинус 4x минус 6 косинус 2x косинус x плюс 4 минус 4 синус в квадрате x=0 равносильно  равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 6 косинус 2x косинус x плюс 4 косинус в квадрате x=0 равносильно  равносильно косинус в квадрате 2x минус 3 косинус 2x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x=0 равносильно  равносильно косинус в квадрате 2x минус косинус 2x косинус x минус 2 косинус 2x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x=0 равносильно  равносильно левая круглая скобка косинус в квадрате 2x минус косинус 2x косинус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 косинус 2x косинус x минус 2 косинус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно  равносильно косинус 2x левая круглая скобка косинус 2x минус косинус x правая круглая скобка минус 2 косинус x левая круглая скобка косинус 2x минус косинус x правая круглая скобка =0  равносильно  равносильно левая круглая скобка косинус 2x минус косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x минус 2 косинус x правая круглая скобка =0  равносильно  равносильно совокупность выражений  новая строка косинус 2x минус косинус x=0 , новая строка косинус 2x минус 2 косинус x=0 . конец совокупности .

 

 косинус 2x минус косинус x=0 равносильно 1 плюс косинус 2x минус косинус x минус 1=0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 1=0 равносильно

 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1\pm корень из 1 плюс 8, знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений  новая строка косинус x=1 , новая строка косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби  конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x=2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .  конец совокупности .

 косинус 2x минус 2 косинус x=0 равносильно 1 плюс косинус 2x минус 2 косинус x минус 1=0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус 2 косинус x минус 1=0 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1\pm корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Уравнение  косинус x= дробь: числитель: 1 плюс корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби решений не имеет.

 косинус x= дробь: числитель: 1 минус корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из 3 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .

б) Выборку корней сделаем с помощью единичной окружности.

x_1= Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из 3 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , x_2= Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x_3=2 Пи .

 

Ответ: а) 2 Пи n,\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, \pm левая круглая скобка Пи минус арккосинус дробь: числитель: корень из 3 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; б)  Пи плюс арккосинус дробь: числитель: корень из 3 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,2 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114.