Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 511260
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x плюс 3, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби \leqslant3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби =t, тогда: 2t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби минус 3 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2t в квад­ра­те минус 3t плюс 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 0. Най­дем корни чис­ли­те­ля левой части по­след­не­го не­ра­вен­ства.

2t в квад­ра­те минус 3t плюс 1=0 рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: 3\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 минус 8 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t=1 , новая стро­ка t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

дробь: чис­ли­тель: 2t в квад­ра­те минус 3t плюс 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 0.

Не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

 

Ин­тер­ва­лы левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка
Знак вы­ра­же­ния−+−+

 

Итак, t мень­ше 0, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно t мень­ше или равно 1. Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной х. дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби мень­ше 0   рав­но­силь­но   x плюс 3 мень­ше 0 рав­но­силь­но x мень­ше минус 3 (*)

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби минус 1 мень­ше или равно 0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы .  рав­но­силь­но   си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 3, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби мень­ше или равно 0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 2x в квад­ра­те минус x минус 3, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы .  рав­но­силь­но   дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 0.

Най­дем корни чис­ли­те­ля левой части по­след­не­го не­ра­вен­ства:

x в квад­ра­те минус x минус 3=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 12 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

2x в квад­ра­те минус x минус 3=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 24 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1\pm 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Далее имеем:

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 0   рав­но­силь­но   дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби мень­ше или равно 0 (**)

Решим по­след­нее не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

За­ме­тим, что минус 3 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус 1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ин­тер­ва­лы левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 3; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка
Знак вы­ра­же­ния++−+−+

 

Ре­ше­ния не­ра­вен­ства (**) : левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Объ­еди­нив ре­ше­ния не­ра­венств (*) и (**) будем иметь: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025