PDF-версии: 1. Тип 13 № 686782 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Возведение в квадрат с учётом ОДЗ, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него
Уравнения. Тригонометрия и иррациональности
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Избавимся от иррациональности:
Решим уравнение системы:
Проверим выполнение неравенства 
для найденных серий решений:
Таким образом, подходят две серии корней: 
и 
где 
б) Корни, принадлежащие отрезку 
отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходят: 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
686782
следует параллельность прямых MN и AC. Таким образом, прямая MN параллельна средней линии PQ, а значит, точки Р, Q, M и N лежат в одной плоскости.
—
—
Так как долг увеличивается ежегодно в k раз, а платежи вносятся раз в год, рассмотрим оба варианта погашения кредита — за 2 и за 4 года — и составим систему уравнений:
получаем, что 
Треугольник BMN — равнобедренный по определению, поэтому 
Значит, 
треугольник OMN — равнобедренный, то есть 
Следовательно, треугольники MBO и NBO равны по трем сторонам, откуда 
Таким образом, луч BP — биссектриса угла ABC.
Тогда по теореме косинусов в треугольнике ABP:
Заметим, что
тогда условие задачи будет выполнено тогда и только тогда, когда уравнение
получаем 
откуда 
Значит, значение 
уравнение является квадратным, тогда условие задачи будут выполнены, если уравнение имеет корни, их сумма отрицательна, а произведение положительно. Найдем дискриминант уравнения и применим теорему Виета, получим систему соотношений:
и 
дают одинаковый остаток при делении на 100.
дают одинаковый остаток при делении на 100.
поскольку 
остатки одинаковые, но до этого повторений не будет). Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 18.
