а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа 
и 
дают одинаковый остаток при делении на 100.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что и 
дают одинаковый остаток при делении на 100.
а) Например годится 
поскольку 
б) Для этого нужно, чтобы
делилось на 100. На 4 оно точно делится, а для делимости на 25 нужно, чтобы
делилось на 25. Это возможно в том и только том случае, когда n дает остаток 13 при делении на 25. Таких чисел среди любых 25 чисел подряд ровно одно, поэтому среди всех 900 трехзначных чисел их ровно 36.
в) Нужно, чтобы
делилось на 100 ровно для 36 чисел. Разберем случаи, чему может быть равен наибольший общий делитель m и 100.
Если 1, то второй множитель должен быть кратен 100, при этом остатки от деления на 100 повторяются группой по 50 (то есть для 
остатки одинаковые, но до этого повторений не будет). Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 18.
Если 2, то второй множитель должен быть кратен 50, при этом остатки от деления его на 50 повторяются группой по 25. Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 36. На самом деле поскольку m четно, то подходящее n точно есть, поэтому их 36. Итак, подходят все четные числа, не кратные 4 или 5.
Если 4, то второй множитель должен быть кратен 25, при этом остатки от деления его на 25 повторяются группой по 25. Значит, нужных нам случаев среди 900 трехзначных чисел либо 0, либо 36. На самом деле их всегда 36, потому что среди чисел
Если 5 или больше, то второй множитель должен делиться на какое-то конкретное число, не превосходящее 20. Остатки от деления на такое число зацикливаются не более чем за 20 чисел, поэтому будет либо ни одного подходящего остатка, либо сразу минимум 
Итак, годятся четные числа, не кратные 5. В каждом десятке таких 4, Значит, всего их 
Ответ: а) 38; б) 36; в) 36.
-------------
Дублирует задание № 527307.Спрятать критерии